RSS-ленты
РусскийEnglish
Выпуск 4, 2024
Том год страница
Выпуски Авторы PACS Подписчикам Для авторов

Выпуски

 / 

2007

 / 

Сентябрь

←  →

Методические заметки


Динамический хаос. Системы классической механики


Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Физический факультет, Ленинские горы 1 стр. 2, Москва, 119991, Российская Федерация

Статья представляет собой методическое руководство для тех, кто интересуется хаотической динамикой. Изложены начала теории детерминированного хаоса, возникающего в системах классической механики. Представлены базовые результаты, полученные в этой области: элементы теории нелинейного резонанса и теории Колмогорова-Арнольда-Мозера, теорема Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке, метод Мельникова. Особое внимание уделено анализу явлений, лежащих в основе самоподобия и природы хаоса: расщеплению cenapaтpuc, гомо- и гетероклиническим сплетениям. Описаны важные свойства, присущие хаотическим системам: непредсказуемость, необратимость, расцепление временных корреляций. Рассмотрены популярные в последнее время модели классической статистической механики с хаотическими свойствами — бильярды с осциллирующими границами. Показано, что когда бильярд обладает свойством развитого хаоса, следствием возмущения его границ является ускорение Ферми. Однако для бильярдных систем, близких к интегрируемым, возмущения границ приводят ансамбль частиц к новому явлению — разделению их по скоростям. Если начальная скорость частиц превышает некоторую критическую величину, характерную для данной геометрии бильярда, то частицы ускоряются, в противном случае происходит их замедление.

Текст pdf (637 Кб)
English fulltext is available at DOI: 10.1070/PU2007v050n09ABEH006341
PACS: 05.45.−a, 05.45.Ac (все)
DOI: 10.3367/UFNr.0177.200709d.0989
URL: https://ufn.ru/ru/articles/2007/9/d/
000252639900004
2-s2.0-38349081661
2007PhyU...50..939L
Цитата: Лоскутов А Ю "Динамический хаос. Системы классической механики" УФН 177 989–1015 (2007)
BibTexBibNote ® (generic)BibNote ® (RIS)MedlineRefWorks

English citation: Loskutov A “Dynamical chaos: systems of classical mechanics” Phys. Usp. 50 939–964 (2007); DOI: 10.1070/PU2007v050n09ABEH006341

Список литературы (189) ↓ Статьи, ссылающиеся на эту (48) Похожие статьи (20)

  1. Poincaré H Calcul des Probabilités (Paris: Gauthier-Villars, 1912)
  2. Boltzmann L J. Math. 100 201 (1887)
  3. Boltzmann L Vorlesungen über Gastheorie (Leipzig: J.A. Barth, 1896)
  4. Больцман Л Статьи и речи (М.: Наука, 1970)
  5. Ehrenfest P, Ehrenfest T in Enzyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften Vol. IV (Leipzig, 1911), Tl. 32
  6. Эренфест П Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей (М.: Наука, 1972)
  7. Кац М Вероятность и смежные вопросы в физике (М.: Мир, 1965)
  8. Cohen E G D, Thirring W (Eds) The Bolzmann Equation: Theory and Applications (Acta Physica Austriaca, Suppl. 10) (Wien: Springer-Verlag, 1973)
  9. Fermi E, Pasta J, Ulam S "Studies of nonlinear problems" Los Alamos Sci. Laboratory Rep. LA-1940 (Los Alamos: Los Alamos Scientific Laboratory, 1955)
  10. Ford J J. Math. Phys. 2 387 (1961)
  11. Jackson E A J. Math. Phys. 4 551 (1963)
  12. Пуанкаре А Избранные труды Т. 1 (М.: Наука, 1971)
  13. Биркгоф Д Динамические системы (Ижевск: Изд. дом «Удм. ун-т» (1999)
  14. Крылов Н С Работы по обоснованию статистической физики (М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950)
  15. Борн М УФН 69 173 (1959); Born M Z. Phys. 153 372 (1958)
  16. Ford J "Foreword" Phys. Rep. 75 288 (1981)
  17. Li T-Y, Yorke J A Am. Math. Mon. 82 985 (1975)
  18. Каток А Б, Хассельблат Б Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений (М.: Изд-во МЦНМО, 2005)
  19. Синай Я Г Империя математики (3) 13 (2000)
  20. Анищенко В С и др. УФН 175 163 (2005); Anishchenko V S et al. Phys. Usp. 48 151 (2005)
  21. Колмогоров А Н ДАН СССР 98 527 (1954)
  22. Арнольд В И Усп. мат. наук 18 13 (1963)
  23. Арнольд В И Усп. мат. наук 18 91 (1963)
  24. Мозер Ю в сб. Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей Т. 6 (М.: Мир, 1962) с. 51
  25. Мозер Ю Лекции о гамильтоновых системах (M.: Мир, 1973)
  26. Аносов Д В Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны (М.: Наука, 1967)
  27. Синай Я Г ДАН СССР 153 1261 (1963)
  28. Синай Я Г Вестн. МГУ. Сер. 1. Mат. Мех. 18 (5) 6 (1963)
  29. Шильников Л П ДАН СССР 160 558 (1965)
  30. Шильников Л П ДАН СССР 172 298 (1967)
  31. Шильников Л П и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике (М. – Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004)
  32. Арнольд В И в сб. Итоги науки и техники (Динамические системы, Т. 5, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Под ред. В И Арнольда, Р В Гамкрелидзе) (М.: ВИНИТИ, 1986) с. 5
  33. Колмогоров А Н ДАН СССР 119 861 (1958)
  34. Колмогоров А Н ДАН СССР 124 754 (1959)
  35. Синай Я Г ДАН СССР 124 768 (1959)
  36. Smale S in Differential and Combinatorial Topology (General Ed. S S Cairns) (Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1965) p. 63
  37. Смейл С Усп. мат. наук 25 113 (1970)
  38. Аносов Д В ДАН СССР 145 707 (1962); Аносов Д В ДАН СССР 151 1250 (1963)
  39. Боуэн Р Методы символической динамики (М.: Мир, 1979)
  40. Каток А, Хассельблат Б Введение в современную теорию динамических систем (М.: Факториал, 1999)
  41. Нитецки З Введение в дифференциальную динамику (М.: Мир, 1975)
  42. Lasota A, Mackey V C Chaos, Fractals, and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics 2nd ed. (New York: Springer-Verlag, 1994)
  43. Аносов Д В в сб. Итоги науки и техники (Динамические системы, Т. 9, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) (М.: ВИНИТИ, 1991)
  44. Bunimovich L A, Sinai Ya G Commun. Math. Phys. 78 479 (1981)
  45. Бунимович Л А Итоги науки и техники (Динамические системы, Т. 2, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) (М.: ВИНИТИ, 1985)
  46. Bunimovich L A Chaos 1 187 (1991)
  47. Tabachnikov A Billiards (Paris: France Math. Soc. Press, 1995)
  48. Дубровин Б А Итоги науки и техники (Динамические системы, Т. 4, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) (М.: ВИНИТИ, 1985) с. 179
  49. Ольшанецкий М А, Переломов А М, Семенов-Тян-Шанский М А в сб. Итоги науки и техники (Сер. Динамические системы, Т. 7) (М.: ВИНИТИ, 1987) с. 86
  50. Трофимов В В, Фоменко А Т в сб. Итоги науки и техники (Динамические системы, Т. 7, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) (М.: ВИНИТИ, 1987) с. 227
  51. Переломов А М Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли (М.: Наука, 1990)
  52. Табор М Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике (М.: Эдиториал УРСС, 2001)
  53. Арнольд В И, Козлов В В, Нейштадт А И Математические аспекты классической и небесной механики (М.: Эдиториал УРСС, 2002)
  54. Лихтенберг А, Либерман М Регулярная и стохастическая динамика (М.: Мир, 1984)
  55. Козлов В В Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике (Ижевск: Изд-во Удм. гос. ун-та, 1995)
  56. Trueba J L, Baltanás J P, Sanjuán M A F Chaos, Solitons, Fractals 15 911 (2003)
  57. Dzhanoev A R, Loskutov A, Cao H, Sanjuán M A F Discrete Continuous Dyn. Syst. B 7 275 (2007)
  58. Чириков Б В Атом. энергия 6 630 (1959)
  59. Chirikov B V Phys. Rep. 52 263 (1979)
  60. Заславский Г М Физика хаоса в гамильтоновых системах (М. – Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004)
  61. Заславский Г М, Сагдеев Р З Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса (М.: Наука, 1988)
  62. Заславский Г М и др. Слабый хаос и квазирегулярные структуры (М.: Наука, 1991)
  63. Морозов А Д Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах (М. – Ижевск: РХД, 2005)
  64. Боголюбов Н Н, Митропольский Ю А Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний 2-е изд. (М.: Физматгиз, 1958)
  65. Чириков Б В "Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности" Препринт №267 (Новосибирск: ИЯФ АН СССР, Сиб. отд., 1969)
  66. Escande D F Phys. Rep. 121 165 (1985)
  67. Walker G H, Ford J Phys. Rev. 188 416 (1969)
  68. Вайнберг С Гравитация и космология: Принципы и приложения общей теории относительности (М.: Мир, 1975)
  69. Диаку Ф, Холмс Ф Небесные встречи. Истоки хаоса и нелинейности (М. – Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004)
  70. де ла Яве Р Введение в КАМ-теорию (М. – Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2003)
  71. Трещёв Д В Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем (М.: Фазис, 1998)
  72. Арнольд В И, Авец А Эргодические проблемы классической механики (М.: РХД, 1999)
  73. Lazutkin V F KAM Theory and Semiclassical Approximations to Eigenfunctions (Berlin: Springer-Verlag, 1993)
  74. Broer H W, Huitema G B, Sevryuk M B Quasi-periodic Motions in Families of Dynamical Systems: Order Amidst Chaos (Lecture Notes in Math., No. 1645) (Berlin: Springer, 1996)
  75. Broer H W, Huitema G B, Takens F Mem. Am. Math. Soc. 83 1 (1990)
  76. Pöschel J in Smooth Ergodic Theory and Its Applications (Proc. of Symp. in Pure Math., Vol. 69, Eds A Katok et al.) (Providence, RI: Am. Math. Soc., 2001) p. 707
  77. Арнольд В И ДАН СССР 156 9 (1964)
  78. Заславский Г М, Чириков Б В УФН 105 3 (1971); Zaslavskii G M, Chirikov B V Sov. Phys. Usp. 14 549 (1972)
  79. Holmes P J, Marsden J E J. Math. Phys. 23 669 (1982)
  80. MacKay R S, Meiss J D, Persival I C Transport in Hamiltonian Systems (London: Queen Mary College, 1983); MacKay R S, Meiss J D, Persival I C Physica D 13 55 (1984)
  81. Tennyson J L, Lieberman M A, Lichtenberg A J AIP Conf. Proc. 57 272 (1979)
  82. Нехорошев Н Н Усп. мат. наук 32 (6) 5 (1977)
  83. Пуанкаре А Избранные труды Т. 1 Новые методы небесной механики (М.: Наука, 1971)
  84. Poincaré H Rendicont Circolo Mat. Palermo 33 375 (1912)
  85. Зигель К, Мозер Ю Лекции по небесной механике (М. – Ижевск: РХД, 2001)
  86. Berry M V AIP Conf. Proc. 46 16 (1978)
  87. Helleman R H G in Fundamental Problems in Statistical Mechanics Vol. 5 (Ed. E G D Cohen) (Amsterdam: North-Holland, 1980) p. 165
  88. Гукенхеймер Дж, Холмс Ф Нелинейный колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей (М. – Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2002)
  89. Гельфрейх В Г, Лазуткин В Ф Усп. мат. наук 56 79 (2001)
  90. Shilnikov L in Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems, Proc. of an Intern. Conf., Zakopane, Poland, November 7 – 12, 1995 (Eds E Infeld, R Żelazny, A Galkowski) (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997) p. 39
  91. Мельников В К Труды Моск. матем. общества 12 3 (1963)
  92. Duffing G Erzwungene Schwingungen bei Veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung (Braunschweig: F. Vieweg und Sohn, 1918)
  93. Кузнецов С П Динамический хаос (М.: Физматлит, 2001)
  94. Мун Ф Хаотические колебания (М.: Мир, 1990)
  95. Неймарк Ю И, Ланда П С Стохастические и хаотические колебания (М.: Наука, 1987)
  96. Holmes P Philos. Trans. R. Soc. London A 292 419 (1979)
  97. Cuadros F, Chacón R Phys. Rev. E 47 4628 (1993)
  98. Schwalger T, Dzhanoev A, Loskutov A Chaos 16 023109 (2006)
  99. Holmes P J SIAM J. Appl. Math. 38 65 (1980)
  100. Hopf E Math. Ann. 117 590 (1940)
  101. Пригожин И От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках (М.: Наука, 1985)
  102. Пригожин И, Стенгерс И Время, хаос, квант: К решению парадокса времени (М.: Прогресс, 1994)
  103. Mikhailov A S, Loskutov A Foundations in Synergetics II: Complex Patterns (Springer Series in Synergetics, Vol. 52) 2nd ed. (Berlin: Springer, 1996)
  104. Hadamard J J. Math. Pures Appl. 4 27 (1898)
  105. Козлов В В, Трещев Д В Биллиарды. Генетическое введение в теорию систем с ударами (М.: Изд-во МГУ, 1991)
  106. Bunimovich L A Commun. Math. Phys. 65 295 (1979)
  107. Bunimovich L A Chaos 11 802 (2001)
  108. Синай Я Г Усп. мат. наук 25 141 (1970)
  109. Бунимович Л А Матем. сб. 94 49 (1974)
  110. Baldwin P R J. Phys. A 24 L941 (1991)
  111. Chernov N J. Stat. Phys. 88 1 (1997)
  112. Garrido P L J. Stat. Phys. 88 807 (1997)
  113. Лоскутов А Ю, Рябов А Б, Акиншин Л Г ЖЭТФ 116 1781 (1999)
  114. Loskutov A, Ryabov A B, Akinshin L G J. Phys. A 33 7973 (2000)
  115. Fermi E Phys. Rev. 75 1169 (1949)
  116. Blandford R, Eichler D Phys. Rep. 154 1 (1987)
  117. Ulam S M in Proc. of the 4th Berkeley Symp. on Mathematical Statistics and Probability Vol. 3 (California: California Univ. Press, 1961) p. 315
  118. Brahic A Astron. Astrophys. 12 98 (1971)
  119. Заславский Г М Статистическая необратимость в нелинейных системах (М.: Наука, 1970)
  120. Lichtenberg A J, Lieberman M A, Cohen R H Physica D 1 291 (1980)
  121. Пустыльников Л Д ДАН СССР 292 549 (1987)
  122. Пустыльников Л Д Матем. сб. 85 (6) 113 (1994)
  123. Krüger T, Pustyl'nikov L D, Troubetzkoy S E Nonlinearity 8 397 (1995)
  124. Пустыльников Л Д Усп. мат. наук 50 143 (1995)
  125. Karlis A K et al. Phys. Rev. Lett. 97 194102 (2006)
  126. Koiller J et al. Nonlinearity 8 983 (1995)
  127. Koiller J et al. J. Stat. Phys. 83 127 (1996)
  128. Kamphorst S O, de Carvalho S P Nonlinearity 12 1363 (1999)
  129. Tsang K Y, Ngai K L Phys. Rev. E 56 R17 (1997)
  130. Tsang K Y, Lieberman M A Physica D 11 147 (1984)
  131. Tsang K Y, Lieberman M A Phys. Lett. A 103 175 (1984)
  132. Loskutov A, Ryabov A J. Stat. Phys. 108 995 (2002)
  133. Лоскутов А Ю, Рябов А Б в сб. Нелинейные волны — 2004 (Под ред А В Гапонова-Грехова, В И Некоркина) (Н. Новгород: ИПФ РАН, 2005) с. 510
  134. de Carvalho R E, de Souza F C, Leonel E D J. Phys. A 39 3561 (2006)
  135. de Carvalho R E, Souza F C, Leonel E D Phys. Rev. E 73 066229 (2006)
  136. Ryabov A B, Loskutov A Phys. Rev. Lett., in preparation
  137. Лоскутов А Ю, Михайлов А С Основы теории сложных систем (М. – Ижевск: РХД, Инст. компьют. исслед., 2007)
  138. Zaslavsky G M Chaos 5 653 (1995)
  139. Kuznetsov L, Zaslavsky G M Phys. Rep. 288 457 (1997)
  140. Kuksin S B Nearly Integrable Infinite-Dimensional Hamiltonian Systems (Berlin: Springer-Verlag, 1993)
  141. Pöschel J Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 23 119 (1996)
  142. Bambusi D Math. Z. 230 345 (1999)
  143. Bambusi D, Nekhoroshev N N Physica D 122 73 (1998)
  144. Sevryuk M B Physica D 112 132 (1998)
  145. Заславский Г М УФН 156 193 (1988); Zaslavskii G M et al. Sov. Phys. Usp. 31 887 (1988)
  146. Алексеев В М Лекции по небесной механике (М. – Ижевск: РХД, 2001)
  147. Robutel P Cel. Mech. Dyn. Astron. 62 219 (1995)
  148. Xia Z Ann. Math. 135 411 (1992)
  149. Saari D G, Xia Z Notices Am. Math. Soc. 42 538 (1995)
  150. Gerver J L J. Differ. Equations 52 76 (1984)
  151. Симо К и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности (М. – Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2002)
  152. Белецкий В В, Хентов А А Резонансные вращения небесных тел (Н. Новгород: Нижегор. гуманитарн. центр, 1995)
  153. Milani A, Nobili A M Nature 357 569 (1992)
  154. Laskar J Celestial Mech. 64 115 (1996)
  155. Lecar M et al. Annu. Rev. Astron. Astrophys. 39 581 (2001)
  156. Bakker L F, Diacu F N Romanian Astron. J. 3 139 (1993)
  157. Peterson I Newton's Clock: Chaos in the Solar System (New York: W.H. Freeman, 1993)
  158. Goldreich P, Rappaport N Icarus 166 320 (2003)
  159. Xia Z J. Dyn. Differ. Equations 5 219 (1993)
  160. Xia Z J. Differ. Equations 110 289 (1994)
  161. Niederman L Nonlinearity 9 1703 (1996)
  162. Chierchia L, Gallavotti G Ann. Inst. Poincaré B Phys. Théor. 60 1 (1994)
  163. Celletti A, Ferraz-Mello S (Eds) Periodic, Quasi-Periodic and Chaotic Motions in Celestial Mechanics: Theory and Applications (Dordrecht: Springer, 2006)
  164. Murray C D, Dermott S F Solar System Dynamics (Cambridge: Camridge Univ. Press, 1999)
  165. Маров М Я УФН 175 668 (2005); Marov M Ya Phys. Usp. 48 638 (2005)
  166. Kirkwood D Meteoric Astronomy (Philadelphia: J.B. Lippincott & Co. (1867)
  167. Dermott S F, Murray C D Nature 301 201 (1983)
  168. Нейштадт А И ДАН СССР 295 47 (1987)
  169. Wisdom J Icarus 56 51 (1983)
  170. Kuiper G H in Astrophysics (Ed. J A Hynek) (New York: McGraw-Hill, 1951) p. 357
  171. Fernández J A Mon. Not. R. Astron. Soc. 192 481 (1980)
  172. Oort J H Bull. Astron. Inst. Neth. 11 91 (1950)
  173. Asphaug E et al. Nature 393 437 (1998)
  174. Morbidelli A, Nesvorný D Icarus 139 295 (1999)
  175. Fridman A M, Gor'kavyi N N Physics of Planetary Rings: Celestial Mechanics of Continuous Media (New York: Springer, 1999)
  176. Kozai Y (Ed.) The Stability of the Solar System and of Small Stellar Systems, Symp. No. 62 (Copernicus Symp. I ), Warsaw, Poland, September 5 – 8, 1973 (Dordrecht: D. Reidel, 1974)
  177. Moser J Math. Intelligencer 1 65 (1978)
  178. Laskar J Astron. Astrophys. 287 L9 (1994)
  179. Steane A et al. Phys. Rev. Lett. 74 4972 (1995)
  180. Saif F et al. Phys. Rev. A 58 4779 (1998)
  181. Milovanov A V, Zelenyi L M Phys. Rev. E 64 052101 (2001)
  182. Michalek G, Ostrowski M, Schlickeiser R Solar. Phys. 184 339 (1999)
  183. Malkov M A Phys. Rev. E 58 4911 (1998)
  184. Kobayakawa K, Honda Y S, Samura T Phys. Rev. D 66 083004 (2002)
  185. Veltri A, Carbone V Phys. Rev. Lett. 92 143901 (2004)
  186. Lanzanó G et al. Phys. Rev. Lett. 83 4518 (1999)
  187. Frischat S D, Doron E Phys. Rev. E 57 1421 (1998)
  188. Dembowski C et al. Phys. Rev. Lett. 84 867 (2000)
  189. Hofferbert R et al. Phys. Rev. E 71 046201 (2005)
© Успехи физических наук, 1918–2024
Электронная почта: ufn@ufn.ru Телефоны и адреса редакции О журнале Пользовательское соглашение