Рассмотрены представления Фолди—Ваутхайзена и Фейнмана—Гелл-Манна для уравнения Дирака. Анализ проведён для электронов и позитронов, взаимодействующих с электромагнитными полями. Версии квантовой электродинамики рассмотрены как в области применимости теории возмущений, так и в непертурбативной области с сильными электромагнитными полями. В описанных представлениях уравнения Дирака выявлены математические артефакты, противоречащие физическим предпосылкам теории. Математические парадоксы устраняются, если в теории использовать только амплитуды состояний (реальных и виртуальных) с положительными энергиями.