RSS-ленты
РусскийEnglish
Выпуск 11, 2024
Том год страница
Выпуски Авторы PACS Подписчикам Для авторов

Выпуски

 / 

2010

 / 

Декабрь

←  →

Обзоры актуальных проблем


Очарование хаоса


Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Физический факультет, Ленинские горы 1 стр. 2, Москва, 119991, Российская Федерация

Обзор знакомит читателей с большинством понятий, используемых при исследовании хаотических явлений, возникающих в нелинейных системах. Его главная цель — дать современное представление о результатах, полученных в теории хаотических динамических систем, и описать оригинальные идеи, лежащие в основе подхода к изучению детерминированного хаоса. Изложение опирается на неформальный анализ: абстрактные математические понятия сопровождаются наглядными построениями и физическими примерами. Рассматриваются гиперболическая динамика, гомоклинические траектории, гомоклинические касания и дикие гиперболические множества, а также различные типы аттракторов, возникающих в динамических системах. Изложены важные аспекты эргодической теории и описаны основные статистические свойства хаотических динамических систем. Объясняется принципиальное отличие стохастической динамики от детерминированного хаоса. Последняя часть обзора посвящена исследованию возможности изучения сложных систем посредством анализа регистрируемых сигналов, т.е. порождаемых системами временных рядов.

Текст pdf (484 Кб)
English fulltext is available at DOI: 10.3367/UFNe.0180.201012d.1305
PACS: 02.50.−r, 05.45.−a, 47.52.+j (все)
DOI: 10.3367/UFNr.0180.201012d.1305
URL: https://ufn.ru/ru/articles/2010/12/d/
000288495700004
2-s2.0-79955613299
Цитата: Лоскутов А Ю "Очарование хаоса" УФН 180 1305–1329 (2010)
BibTexBibNote ® (generic)BibNote ® (RIS)MedlineRefWorks

English citation: Loskutov A “Fascination of chaos” Phys. Usp. 53 1257–1280 (2010); DOI: 10.3367/UFNe.0180.201012d.1305

Список литературы (182) ↓ Статьи, ссылающиеся на эту (35) Похожие статьи (20)

  1. Гинзбург В Л Физика ХХ века. Развитие и перспективы (Отв. ред. Е П Велихов) (М.: Наука, 1984) с. 281
  2. Smale S Differential and Combinatorial Topology (Gen. Ed. S S Cairns) (Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1965) p. 63
  3. Smale S Bull. Am. Soc. 73 747 (1967); Смейл С УМН 25 113 (1970)
  4. Аносов Д В ДАН СССР 145 707 (1962); Anosov D V Sov. Math. Dokl. 3 1068 (1962)
  5. Аносов Д В ДАН СССР 151 1250 (1963); Anosov D V Sov. Math. Dokl. 4 1153 (1963)
  6. Аносов Д В Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны (М.: Наука, 1967)
  7. Шильников Л П ДАН СССР 160 558 (1965); Shil'nikov L P Sov. Math. Dokl. 6 163 (1965)
  8. Шильников Л П ДАН СССР 172 298 (1967); Shil'nikov L P Sov. Math. Dokl. 8 102 (1967)
  9. Синай Я Г ДАН СССР 153 1261 (1963)
  10. Синай Я Г УМН 25 141 (1970); Sinai Ya G Russ. Math. Surv. 25 137 (1970)
  11. Синай Я Г, Шильников Л П (Ред. пер. с англ.) Странные аттракторы. Сб. статей (М.: Мир, 1981)
  12. Мухин Р Р Очерки по истории динамического хаоса (исследования в СССР в 1950 - 1980-е годы) (М.: Вест-Консалтинг, 2007)
  13. Лоскутов А Ю УФН 177 989 (2007); Loskutov A Phys. Usp. 50 939 (2007)
  14. Ruelle D, Takens F Commun. Math. Phys. 20 167 (1971)
  15. Ruelle D Lecture Notes Phys. 12 292 (1975)
  16. Рабинович М И, Сущик М М УФН 160 (1) 3 (1990); Rabinovich M I, Sushchik M M Sov. Phys. Usp. 33 1 (1990)
  17. Landa P S, McClintock P V E Phys. Rep. 397 1 (2004)
  18. Hartman P Ordinary Differential Equations (New York: Wiley, 1964); Хартман Ф Обыкновенные дифференциальные уравнения (М.: Мир, 1970)
  19. Андронов А А, Понтрягин Л С ДАН СССР 14 247 (1937); Andronov A A, Pontryagin L S C.R. Acad. Sci. USSR 14 247 (1937)
  20. Milnor J Commun. Math. Phys. 99 177 (1985)
  21. Афраймович В С Нелинейные волны. Динамика и эволюция (Отв. ред. А В Гапонов-Грехов, М И Рабинович) (М.: Наука, 1989) с. 16
  22. Guckenheimer J, Holmes P Nonlinear Oscillations: Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (New York: Springer, 1997); Гукенхеймер Дж, Холмс Ф Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей (М. - Ижевск: Инст. комп. исслед., 2002)
  23. Арнольд В И и др. Динамические системы-5 (Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) Т. 5 (Под ред. В И Арнольда, Р В Гамкрелидзе) (М.: ВИНИТИ, 1986) с. 5; Arnold V I et al. Dynamical Systems V: Bifurcation Theory and Catastrophe Theory (Encyclopedia of Mathematical Sciences) (Berlin: Springer, 1994) p. 1
  24. Eckmann J-P Rev. Mod. Phys. 53 643 (1981)
  25. Devaney R L An Introduction to Chaotic Dynamical Systems 2nd ed. (New York: Addison-Wesley Publ. Co., 2003)
  26. Banks J et al. Am. Math. Mon. 99 332 (1992)
  27. Assaf D (IV), Gadbois S Am. Math. Mon. 99 865 (1992)
  28. Колесов А Ю, Розов Н Х УМН 64 (4) 125 (2009); Kolesov A Yu, Rozov N Kh Russ. Math. Surv. 64 701 (2009)
  29. Синай Я Г Современные проблемы эргодической теории (М.: Физматлит, 1995)
  30. Katok A B, Hasselblatt B Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995); Каток А Б, Хасселблат Б Введение в теорию динамических систем (М.: Изд-во МЦНМО, 2005)
  31. Katok A B, Hasselblatt B Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995); Каток А Б, Хасселблат Б Введение в современную теорию динамических систем (М.: Факториал, 1999)
  32. Аносов Д В, Солодов В В Динамические системы-9 (Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) Т. 66 (М.: ВИНИТИ, 1991) с. 12; Anosov D V, Solodov V V Dynamical Systems IX (Encyclopedia of Mathematical Sciences) Vol. 66 (Berlin: Springer, 1995) p. 10
  33. Kuznetsov S P Phys. Rev. Lett. 95 144101 (2005)
  34. Kuznetsov S P, Pikovsky A Physica D 232 87 (2007)
  35. Кузнецов С П Нелинейная динамика 5 403 (2009)
  36. Tucker W C.R. Acad. Sci. Paris I Math. 328 1197 (1999)
  37. Tucker W Found. Comput. Math. 2 53 (2002)
  38. Smale S The Mathematics of Time. Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics (Berlin: Springer, 1980)
  39. Smale S The Chaos Avant-Garde. Memories of the Early Days of Chaos Theory (Eds R Abraham, Y Ueda) (Singapore: World Scientific, 2000) p. 7
  40. Holmes P J, Moon F C Trans. ASME E 50 1021 (1983)
  41. Лоскутов А Ю, Михайлов А С Основы теории сложных систем (М. - Ижевск: РХД, Инст. комп. исслед., 2007)
  42. Заславский Г М Гамильтонов хаос и фрактальная динамика (М. - Ижевск: РХД, Инст. комп. исслед., 2010)
  43. Алексеев В М УМН 24 (1) 185 (1969)
  44. Алексеев В М Лекции по небесной механике (М. - Ижевск: РХД, 2001)
  45. Levi M Mem. AMS 214 1 (1981)
  46. Holmes P J. Sound Vib. 84 173 (1982)
  47. Moon F C Chaotic Vibrations (New York: Wiley, 1987); Мун Ф Хаотические колебания (М.: Мир, 1990)
  48. Poincaré H Les Méthodes Nouvelles de la Méchanique Céleste (Paris: Gauthier-Villars, 1982); Poincaré H New Methods of Celestial Mechanics (Washington: NASA, 1960); Пуанкаре А Новые методы небесной механики (М.: Наука, 1971)
  49. Шильников Л П и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике Т. 1 (М. - Ижевск: Инст. комп. исслед., 2004); Шильников Л П и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике Т. 2 (М. - Ижевск: РХД, Инст. комп. исслед., 2009)
  50. Песин Я Б Динамические системы-2 (Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) Т. 2 (М.: ВИНИТИ, 1985) с. 123
  51. Birkhoff G D Collected Mathematical Papers (New York: Am. Math. Soc., 1950)
  52. Birkhoff G D Mém. Pont. Acad. Sci. Novi Lyncaei 1 85 (1935)
  53. Katok A Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sci. 51 137 (1980)
  54. Шильников Л П Матем. сб. 81 92 (1970); Shil'nikov L P Math. USSR Sb. 10 91 (1970)
  55. Arnéodo A, Coullet P, Tresser C Commun. Math. Phys. 79 573 (1981)
  56. Arnéodo A, Coullet P, Tresser C J. Stat. Phys. 27 171 (1982)
  57. Гаврилов Н К, Шильников Л П Матем. сб. 88 475 (1972); Gavrilov N K, Shil'nikov L P Math. USSR Sb. 17 467 (1972)
  58. Гаврилов Н К, Шильников Л П Матем. сб. 90 139 (1973); Gavrilov N K, Shil'nikov L P Math. USSR Sb. 19 139 (1973)
  59. Гонченко С В, Шильников Л П (Ред.) Гомоклинические касания. Сб. статей. (М. - Ижевск: РХД, Инст. комп. исслед., 2007)
  60. Palis J Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math. 14 221 (1970)
  61. Hirsch M, Pugh C Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math. 14 133 (1970)
  62. Nitecki Z Differentiable Dynamics (Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 1971); Нитецки З Введение в дифференциальную динамику (М.: Мир, 1975)
  63. Newhouse S, Palis J Astérisque 31 44 (1976)
  64. Palis J, Takens F Invent. Math. 82 397 (1985)
  65. Palis J, Takens F Ann. Math. 125 337 (1987)
  66. Стенькин О В, Шильников Л П Матем. сб. 189 (4) 125 (1998); Sten'kin O V, Shil'nikov L P Sb. Math. 189 603 (1998)
  67. Newhouse S E Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math. 14 191 (1970)
  68. Newhouse S E Topology 13 9 (1974)
  69. Newhouse S E Publ. Math. Inst. Hautes 50 101 (1979)
  70. Gonchenko S V, Shil'nikov L P, Turaev D V Chaos 6 15 (1996)
  71. Гонченко С В, Тураев Д В, Шильников Л П Труды МИАН 216 76 (1997); Gonchenko S V, Turaev D V, Shil'nikov L P Proc. Steklov Inst. Math. 216 70 (1997)
  72. Гонченко С В, Стенькин С В, Шильников Л П Нелинейная динамика 2 3 (2006)
  73. Гонченко С В, Тураев Д В, Шильников Л П Динамические системы-6 (Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения) Т. 67 (М.: ВИНИТИ, 1999) с. 69; Gonchenko S V, Turaev D V, Shil'nikov L P J. Math. Sci. 105 (1) 1738 (2001)
  74. Gonchenko S V et al. Nonlinearity 10 409 (1997)
  75. Gonchenko S V, Shil'nikov L P, Turaev D V Physica D 62 1 (1993)
  76. Downarowicz T, Newhouse S Invetn. Math. 160 453 (2005)
  77. Kaloshin V Yu Commun. Math. Phys. 211 253 (2000)
  78. Shil'nikov A L, Shil'nikov L P, Turaev D V Int. J. Bifurcat. Chaos 3 1123 (1993)
  79. Newhouse S, Palis J, Takens F Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sci. 57 5 (1983)
  80. Афраймович В С, Шильников Л П Методы качественной теории дифференциальных уравнений (Отв. ред. Е А Леонтович-Андронова) (Горький: ГГУ, 1983) с. 3
  81. Овсянников И М, Шильников Л П Матем. сб. 130 552 (1986); Ovsyannikov I M, Shil'nikov L P Math. USSR Sb. 58 557 (1987)
  82. Овсянников И М, Шильников Л П Матем. сб. 182 1043 (1991); Ovsyannikov I M, Shil'nikov L P Math. USSR Sb. 73 415 (1992)
  83. Palis J, Takens F Hyperbolicity and Sensitive Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993)
  84. Шильников Л П Матем. сб. 74 378 (1967); Shil'nikov L P Math. USSR Sb. 3 353 (1967)
  85. Боуэн Р Методы символической динамики (М.: Мир, 1979)
  86. Ruelle D Hasard et Chaos (Paris: O. Jacob, 1991); Ruelle D Chance and Chaos (Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1991); Рюэль Д Случайность и хаос (М. - Ижевск: РХД, 2001)
  87. Плыкин Р В, Сатаев Е А, Шлячков С В Динамические системы-9 (Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) Т. 66 (М.: ВИНИТИ, 1991) с. 100
  88. Гонченко С В, Тураев Д В, Шильников Л П Итоги науки и техники (Сер. Современная математика и ее приложения) Т. 7 (М.: ВИНИТИ, 2003) с. 92
  89. Mora L, Viana M Acta Math. 71 1 (1993)
  90. Viana M Proc. of XIth Intern. Congress of Mathematical Physics, Paris, France, July 18 - 23, 1994 (Ed. D Iagolnitzer) (Cambridge, MA: Intern. Press, 1995) p. 142
  91. Viana M Bull. Braz. Math. Soc. 24 (1) 13 (1993)
  92. Palis J, Viana M Ann. Math. 140 207 (1994)
  93. Grebogi C et al. Physica D 13 261 (1984)
  94. Плыкин Р В Матем. сб. 94 243 (1974); Plykin R V Math. USSR Sb. 23 233 (1974)
  95. Плыкин Р В УМН 39 (6) 75 (1984); Plykin R V Russ. Math. Surv. 39 (6) 85 (1984)
  96. Белых В Н Системы фазовой синхронизации (Под ред. В В Шахгильдяна, Л Н Белюстиной) (М.: Радио и связь, 1982) с. 161
  97. Бунимович Л А Динамические системы-2 (Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) Т. 2 (М.: ВИНИТИ, 1985) с. 173
  98. Collet P, Levi Y Commun. Math. Phys. 93 461 (1984)
  99. Lozi R J. Physique Colloq. 39 C5-9 (1978)
  100. Sataev E A J. Math. Sci. 95 2564 (1999)
  101. Misiurewicz M Ann. N.Y. Acad. Sci. 357 348 (1980)
  102. Pesin Ya B Ergodic Theory Dyn. Syst. 12 123 (1992)
  103. Lorenz E N J. Atmos. Sci. 20 130 (1963)
  104. Hénon M Commun. Math. Phys. 50 69 (1976)
  105. Benedicks M, Carleson L Ann. Math. 133 73 (1991)
  106. Кузнецов С П, Селезнев Е П ЖЭТФ 129 400 (2006); Kuznetsov S P, Seleznev E P JETP 102 355 (2006)
  107. Morales C A Ann. Inst. Henri Poincaré 13 589 (1996)
  108. Belykh V, Belykh I, Mosekilde E Int. J. Bifurcat. Chaos 15 3567 (2005)
  109. Kuznetsov S P Chaos 19 013114 (2009)
  110. Синай Я Г Нелинейные волны (Отв. ред. А В Гапонов-Грехов) (М.: Наука, 1979) с. 192
  111. Haken H A Advanced Synergetics (Berlin: Springer-Verlag, 1983); Хакен Г Синергетика (М.: Мир, 1985)
  112. Afraimovich V S, Shilnikov L P Nonlinear Dynamics and Turbulence (Eds G I Barenblatt, G Iooss, D D Joseph) (New York: Pitman, 1983) p. 1
  113. Garrido L, Simó C et al. Lect. Notes Phys. 179 1 (1983)
  114. Анищенко В С и др. УФН 175 163 (2005); Anishchenko V S et al. Phys. Usp. 48 151 (2005)
  115. Афраймович В С, Быков В В, Шильников Л П УМН 35 (4) 164 (1980)
  116. Быков В В Методы качественной теории дифференциальных уравнений (Отв. ред. Е А Леонтович-Андронова) (Горький: ГГУ, 1980) с. 44
  117. Арнольд В И Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (М.: Наука, 1978); Arnold V I Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations (New York: Springer-Verlag, 1983)
  118. Markus L, Meyer K R Mem. Am. Math. Soc. 144 1 (1974)
  119. Perry A D, Wiggins S Physica D 71 102 (1994)
  120. Zaslavsky G M Phys. Rep. 371 461 (2002)
  121. Bunimovich L A Nonlinearity 21 (2) T13 (2008)
  122. Chirikov B V, Shepelyansky D L Physica D 13 395 (1984)
  123. Bunimovich L A Chaos 11 802 (2001)
  124. Altmann E G, Motter A E, Kantz H Chaos 15 033105 (2005)
  125. Marchal C The Three-Body Problem (Amsterdam: Elsevier, 1990); Маршал К Задача трех тел (М. - Ижевск: РХД, 2004)
  126. Bunimovich L A Commun. Math. Phys. 65 295 (1979)
  127. Корнфельд И П, Синай Я Г, Фомин С В Эргодическая теория (М.: Наука, 1980); Cornfeld I P, Fomin S V, Sinai Ya G Ergodic Theory (New York: Springer-Verlag, 1982)
  128. Eckmann J-P, Ruelle D Rev. Mod. Phys. 57 617 (1985)
  129. Arnold L, Wihstutz V (Eds) Lyapunov Exponents. Proc of a Workshop, Bremen, Germany, November 12 - 15, 1984 (Lecture Notes in Mathematics) Vol. 1186 (Berlin: Springer-Verlag, 1986)
  130. Оселедец В И Труды Моск. матем. об-ва 19 179 (1968); Oseledets V I Trans. Mosc. Math. Soc. 19 197 (1968)
  131. Миллионщиков В М Матем. сб. 78 (2) 179 (1969); Millionshchikov V M Math. USSR Sb. 7 171 (1969)
  132. Песин Я Б УМН 32 (4) 55 (1977); Pesin Ya B Russ. Math. Surv. 32 (4) 55 (1977)
  133. Kaplan J L, Yorke J A Lect. Notes Math. 730 228 (1979)
  134. Paladin G, Vulpiani A Phys. Rep. 156 147 (1987)
  135. Martin N F G, England J W Mathematical Theory of Entropy (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984); Мартин Н, Ингленд Дж Математическая теория энтропии (М.: Мир, 1988)
  136. Ornstein D S Ergodic Theory, Randomness, and Dynamical Systems (New Haven: Yale Univ. Press, 1974); Орнстейн Д Эргодическая теория, случайность и динамические системы (М.: Мир, 1978)
  137. Billingsley P Ergodic Theory and Information (New York: Wiley, 1965); Биллингслей П Эргодическая теория и информация (М.: Мир, 1969)
  138. Hentschel H G E, Procaccia I Physica D 8 435 (1983)
  139. Малинецкий Г Г, Потапов А Б Современные проблемы нелинейной динамики (М.: УРСС, 2000)
  140. Лоскутов А Ю, Козлов А А, Хаханов Ю М Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика 17 (4) 98 (2009)
  141. Grassberger P, Procaccia I Physica D 9 189 (1983)
  142. Grassberger P, Procaccia I Phys. Rev. A 28 2591 (1983)
  143. Синай Я Г Динамические системы-2 (Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) Т. 2 (М.: ВИНИТИ, 1985) с. 115
  144. Синай Я Г Введение в эргодическую теорию (М.: ФАЗИС, 1996)
  145. Синай Я Г УМН 46 (3) 147 (1991); Sinai Ya G Russ. Math. Surv. 46 (3) 177 (1991)
  146. Halmos P R Lectures on Ergodic Theory (Tokyo: Math. Soc. of Japan, 1956); Халмош П Р Лекции по эргодической теории (Ижевск: РХД, 1999)
  147. Синай Я Г УМН 27 (4) 21 (1972); Sinai Ya G Russ. Math. Surv. 27 (4) 21 (1972)
  148. Bowen R, Ruelle D Invent. Math. 29 181 (1975)
  149. Ruelle D Am. J. Math. 98 619 (1976)
  150. Bowen R Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms (Lecture Notes in Mathematics) Vol. 470 (Berlin: Springer, 1975)
  151. Young L-S J. Stat. Phys. 108 733 (2002)
  152. Benedicks M, Young L-S Invent. Math. 112 541 (1993)
  153. Zermelo E Ann. Phys. 293 485 (1896)
  154. Больцман Л Избранные труды (М.: Наука, 1984)
  155. Boltzmann L Wiedemann Ann. 60 392 (1896)
  156. Крылов Н С Работы по обоснованию статистической физики (М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950); Krylov N S Works on the Foundations of Statistical Physics (Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1979)
  157. Пустыльников Л Д УМН 50 (1) 143 (1995); Pustyl'nikov L D Russ. Math. Surv. 50 (1) 145 (1995)
  158. Безручко Б П, Смирнов Д А Математическое моделирование и хаотические временные ряды (Саратов: Колледж, 2005)
  159. Loskutov A, Mironyuk O Int. J. Bifurcat. Chaos 17 3709 (2007)
  160. Ардашев А В, Лоскутов А Ю Практические аспекты современных методов анализа вариабельности сердечного ритма (М.: Медпрактика, 2010)
  161. Лоскутов А, Котляров О Валютный спекулянт (11) 8 (2008)
  162. Локутов А Ю Экономика и мат. методы 46 58 (2010)
  163. Gouesbet G, Meunier-Guttin-Cluzel S, Ménard O (Eds) Chaos and Its Reconstruction (New York: Nova Sci. Publ., 2003)
  164. Packard N H et al. Phys. Rev. Lett. 45 712 (1980)
  165. Takens F Lect. Notes Math. 898 336 (1981)
  166. Vautard R, Yiou P, Ghil M Physica D 58 95 (1992)
  167. Данилов Д Л, Жиглявский А А (Ред.) Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница". Сб. статей (СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т, 1997)
  168. Farmer J D, Sidorowich J J Phys. Rev. Lett. 59 845 (1987)
  169. Истомин И А, Котляров О Л, Лоскутов А Ю ТМФ 142 148 (2005); Istomin I A, Kotlyarov O L, Loskutov A Yu Theor. Math. Phys. 142 128 (2005)
  170. Лоскутов А Ю и др. Письма в Астрон. журн. 27 867 (2001); Loskutov A Yu et al. Astron. Lett. 27 745 (2001)
  171. Farmer J D, Sidorowich J J Evolution, Learning, and Cognition (Ed. Y C Lee) (Singapore: World Scientific, 1988) p. 277
  172. Лоскутов А Ю и др. Вестн. Моск. ун-та Сеp. 3. Физ. Астрон. 6 3 (2002)
  173. Abarbanel H D I et al. Rev. Mod. Phys. 65 1331 (1993)
  174. Franses P H Time Series Models for Business and Economic Forecasting (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998)
  175. Ghil M et al. Rev. Geophys. 40 (1) 1003 (2002)
  176. Shumway R H, Stoffer D S Time Series Analysis and its Applications (Berlin: Springer, 2000)
  177. Афраймович В С, Рейман А М Нелинейные волны. Динамика и эволюция (Отв. ред. А В Гапонов-Грехов, М И Рабинович) (М.: Наука, 1989) с. 238
  178. Takens F Nonlinear Dynamics and Turbulence (Eds G I Barenblatt, G Iooss, D D Joseph) (New York: Pitman, 1983) p. 314
  179. Broer H W et al. Structures in Dynamics: Finite Dimensional Deterministic Studies (Amsterdam: North-Holland, 1991); Брур Х В и др. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы (М. - Ижевск: РХД, Инст. комп. исслед., 2003) с. 119
  180. Mandelbrot B B The Fractal Geometry of Nature (New York: W.H. Freeman, 1983); Мандельброт Б Фрактальная геометрия природы (М.: Ин-т комп. исслед., 2002)
  181. Peitgen H-O, Richter P H The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems (Berlin: Springer-Verlag, 1986); Пайтген Х-О, Рихтер П Х Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем (М.: Мир, 1993)
  182. Ruelle D Math. Intell. 2 126 (1980)
© Успехи физических наук, 1918–2024
Электронная почта: ufn@ufn.ru Телефоны и адреса редакции О журнале Пользовательское соглашение