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Reviews of topical problems


Fascination of chaos


Lomonosov Moscow State University, Faculty of Physics, Leninskie Gory 1 build. 2, Moscow, 119991, Russian Federation

This review introduces most of the concepts used in the study of chaotic phenomena in nonlinear systems and has as its objective to summarize the current understanding of results from the theory of chaotic dynamical systems and to describe the original ideas underlying the study of deterministic chaos. The presentation relies on informal analysis, with abstract mathematical ideas visualized geometrically or by examples from physics. Hyperbolic dynamics, homoclinic trajectories and tangencies, wild hyperbolic sets, and different types of attractors which appear in dynamical systems are considered. The key aspects of ergodic theory are discussed, and the basic statistical properties of chaotic dynamical systems are described. The fundamental difference between stochastic dynamics and deterministic chaos is explained. The review concludes with an investigation of the possibility of studying complex systems on the basis of the analysis of registered signals, i.e., the generated time series.

Fulltext pdf (404 KB)
Fulltext is also available at DOI: 10.3367/UFNe.0180.201012d.1305
PACS: 02.50.−r, 05.45.−a, 47.52.+j (all)
DOI: 10.3367/UFNe.0180.201012d.1305
URL: https://ufn.ru/en/articles/2010/12/d/
000288495700004
2-s2.0-79955613299
Citation: Loskutov A "Fascination of chaos" Phys. Usp. 53 1257–1280 (2010)
BibTexBibNote ® (generic)BibNote ® (RIS)MedlineRefWorks

Оригинал: Лоскутов А Ю «Очарование хаоса» УФН 180 1305–1329 (2010); DOI: 10.3367/UFNr.0180.201012d.1305

References (182) ↓ Cited by (37) Similar articles (20)

  1. ’I’?’?’?’?ур’? ’E ’’ ’s’?’?’?’?’? KhKh ’?’?’?’?. ’i’?’?’?’?т’?’? ’? ’?’?рс’?’?’?т’?’?ы (’dт’?. р’?’?. ’M ’z ’E’?’?’?kh’?’?) (’a.: ’v’?у’?’?, 1984) с. 281
  2. Smale S Differential And Combinatorial Topology (Gen. Ed. S S Cairns) (Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1965) p. 63
  3. Smale S Bull. Am. Soc. 73 747 (1967); ’l’?’?’?’? ’l Usp. Mat. Nauk 25 113 (1970)
  4. ’B’?’?с’?’? ’K ’E Dokl. Akad. Nauk SSSR 145 707 (1962); Anosov D V Sov. Math. Dokl. 3 1068 (1962)
  5. ’B’?’?с’?’? ’K ’E Dokl. Akad. Nauk SSSR 151 1250 (1963); Anosov D V Sov. Math. Dokl. 4 1153 (1963)
  6. ’B’?’?с’?’? ’K ’E ’I’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? ’?’?т’?’?’? ’?’? ’?’?’?’?’?утыkh р’?’?’?’?’?’?ыkh ’?’?’?’?’?’?’?р’?’?’?yakh ’?тр’?ts’?т’?’?ь’?’?’? ’?р’?’?’?’?’?ы (’a.: ’v’?у’?’?, 1967)
  7. Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z Dokl. Akad. Nauk SSSR 160 558 (1965); Shil’nikov L P Sov. Math. Dokl. 6 163 (1965)
  8. Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z Dokl. Akad. Nauk SSSR 172 298 (1967); Shil’nikov L P Sov. Math. Dokl. 8 102 (1967)
  9. ’l’?’?’?’? Ya ’I Dokl. Akad. Nauk SSSR 153 1261 (1963)
  10. ’l’?’?’?’? Ya ’I Usp. Mat. Nauk 25 141 (1970); Sinai Ya G Russ. Math. Surv. 25 137 (1970)
  11. ’l’?’?’?’? Ya ’I, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z (’i’?’?. ’?’?р. с ’?’?’?’?.) ’lтр’?’?’?ы’? ’?ттр’?’?т’?ры. ’l’?. ст’?т’?’? (’a.: ’a’?р, 1981)
  12. ’aуkh’?’? ’i ’i ’dch’?р’?’? ’?’? ’?ст’?р’?’? ’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’?’? kh’?’?с’? (’?сс’?’?’?’?’?’?’?’?ya ’? ’l’l’l’i ’? 1950 - 1980-’? ’?’?’?ы) (’a.: ’E’?ст-’F’?’?с’?’?т’?’?’?, 2007)
  13. ’’’?с’?ут’?’? ’B Yu Usp. Fiz. Nauk 177 989 (2007); Loskutov A Phys. Usp. 50 939 (2007)
  14. Ruelle D, Takens F Commun. Math. Phys. 20 167 (1971)
  15. Ruelle D Lecture Notes Phys. 12 292 (1975)
  16. ’i’?’?’?’?’?’?’?ch ’a ’R, ’lуshch’?’? ’a ’a Usp. Fiz. Nauk 160 (1) 3 (1990); Rabinovich M I, Sushchik M M Sov. Phys. Usp. 33 1 (1990)
  17. Landa P S, McClintock P V E Phys. Rep. 397 1 (2004)
  18. Hartman P Ordinary Differential Equations (New York: Wiley, 1964); Kh’?рт’?’?’? ’s ’d’?ы’?’?’?’?’?’?’?ы’? ’?’?фф’?р’?’?ts’?’?’?ь’?ы’? ур’?’?’?’?’?’?ya (’a.: ’a’?р, 1970)
  19. ’B’?’?р’?’?’?’? ’B ’B, ’z’?’?трya’?’?’? ’’ ’l Dokl. Akad. Nauk SSSR 14 247 (1937); Andronov A A, Pontryagin L S C.R. Acad. Sci. USSR 14 247 (1937)
  20. Milnor J Commun. Math. Phys. 99 177 (1985)
  21. ’Bфр’?’?’?’?’?’?ch ’E ’l ’v’?’?’?’?’?’?’?ы’? ’?’?’?’?ы. ’K’?’?’?’?’?’?’? ’? э’?’?’?yuts’?ya (’dт’?. р’?’?. ’B ’E ’I’?’?’?’?’?’?-’Iр’?kh’?’?, ’a ’R ’i’?’?’?’?’?’?’?ch) (’a.: ’v’?у’?’?, 1989) с. 16
  22. Guckenheimer J, Holmes P Nonlinear Oscillations: Dynamical Systems, And Bifurcations Of Vector Fields (New York: Springer, 1997); ’Iу’?’?’?kh’?’?’?’?р ’Kzh, Kh’?’?’?с ’s ’v’?’?’?’?’?’?’?ы’? ’?’?’?’?’?’?’?’?ya, ’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы ’? ’?’?фур’?’?ts’?’? ’?’?’?т’?р’?ыkh ’?’?’?’?’? (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’R’?ст. ’?’?’?’?. ’?сс’?’?’?., 2002)
  23. ’Bр’?’?’?ь’? ’E ’R ’? ’?р. ’K’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы-5 (’Rт’?’?’? ’?’?у’?’? ’? т’?kh’?’?’?’?. ’l’?р. ’l’?’?р’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?’?’?’?ы ’?’?т’?’?’?т’?’?’?. ’sу’?’?’?’?’?’?т’?’?ь’?ы’? ’?’?’?р’?’?’?’?’?’?ya) Т. 5 (’z’?’? р’?’?. ’E ’R ’Bр’?’?’?ь’?’?, ’i ’E ’I’?’?’?р’?’?’?’?’?’?) (’a.: ’E’R’v’R’n’R, 1986) с. 5; Arnold V I et al. Dynamical Systems V: Bifurcation Theory And Catastrophe Theory (Encyclopedia of Mathematical Sciences) (Berlin: Springer, 1994) p. 1
  24. Eckmann J-P Rev. Mod. Phys. 53 643 (1981)
  25. Devaney R L An Introduction To Chaotic Dynamical Systems 2nd ed. (New York: Addison-Wesley Publ. Co., 2003)
  26. Banks J et al. Am. Math. Mon. 99 332 (1992)
  27. Assaf D (IV), Gadbois S Am. Math. Mon. 99 865 (1992)
  28. ’F’?’?’?с’?’? ’B Yu, ’i’?’?’?’? ’v Kh Usp. Mat. Nauk 64 (4) 125 (2009); Kolesov A Yu, Rozov N Kh Russ. Math. Surv. 64 701 (2009)
  29. ’l’?’?’?’? Ya ’I ’l’?’?р’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?’?’?’?ы эр’?’?’?’?ch’?с’?’?’? т’?’?р’?’? (’a.: ’s’?’?’?’?т’?’?т, 1995)
  30. Katok A B, Hasselblatt B Introduction To The Modern Theory Of Dynamical Systems (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995); ’F’?т’?’? ’B ’G, Kh’?сс’?’?’?’?’?т ’G ’E’?’?’?’?’?’?’? ’? т’?’?р’?yu ’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?kh с’?ст’?’? (’a.: ’R’?’?-’?’? ’aTs’v’a’d, 2005)
  31. Katok A B, Hasselblatt B Introduction To The Modern Theory Of Dynamical Systems (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995); ’F’?т’?’? ’B ’G, Kh’?сс’?’?’?’?’?т ’G ’E’?’?’?’?’?’?’? ’? с’?’?р’?’?’?’?’?уyu т’?’?р’?yu ’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?kh с’?ст’?’? (’a.: ’s’?’?т’?р’?’?’?, 1999)
  32. ’B’?’?с’?’? ’K ’E, ’l’?’?’?’?’?’? ’E ’E ’K’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы-9 (’Rт’?’?’? ’?’?у’?’? ’? т’?kh’?’?’?’?. ’l’?р. ’l’?’?р’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?’?’?’?ы ’?’?т’?’?’?т’?’?’?. ’sу’?’?’?’?’?’?т’?’?ь’?ы’? ’?’?’?р’?’?’?’?’?’?ya) Vol. 66 (’a.: ’E’R’v’R’n’R, 1991) p. 12; Anosov D V, Solodov V V Dynamical Systems IX (Encyclopedia of Mathematical Sciences) Vol. 66 (Berlin: Springer, 1995) p. 10
  33. Kuznetsov S P Phys. Rev. Lett. 95 144101 (2005)
  34. Kuznetsov S P, Pikovsky A Physica D 232 87 (2007)
  35. ’Fу’?’?’?ts’?’? ’l ’z Nelin. Din. 5 403 (2009)
  36. Tucker W C.R. Acad. Sci. Paris I Math. 328 1197 (1999)
  37. Tucker W Found. Comput. Math. 2 53 (2002)
  38. Smale S The Mathematics Of Time. Essays On Dynamical Systems, Economic Processes, And Related Topics (Berlin: Springer, 1980)
  39. Smale S The Chaos Avant-Garde. Memories Of The Early Days Of Chaos Theory (Eds R Abraham, Y Ueda) (Singapore: World Scientific, 2000) p. 7
  40. Holmes P J, Moon F C Trans. ASME E 50 1021 (1983)
  41. ’’’?с’?ут’?’? ’B Yu, ’a’?kh’?’?’?’?’? ’B ’l ’dс’?’?’?ы т’?’?р’?’? с’?’?zh’?ыkh с’?ст’?’? (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, ’R’?ст. ’?’?’?’?. ’?сс’?’?’?., 2007)
  42. ’O’?с’?’?’?с’?’?’? ’I ’a ’I’?’?’?’?ьт’?’?’?’? kh’?’?с ’? фр’?’?т’?’?ь’?’?ya ’?’?’?’?’?’?’?’? (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, ’R’?ст. ’?’?’?’?. ’?сс’?’?’?., 2010)
  43. ’B’?’?’?с’?’?’? ’E ’a Usp. Mat. Nauk 24 (1) 185 (1969)
  44. ’B’?’?’?с’?’?’? ’E ’a ’’’?’?ts’?’? ’?’? ’?’?’?’?с’?’?’? ’?’?kh’?’?’?’?’? (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, 2001)
  45. Levi M Mem. AMS 214 1 (1981)
  46. Holmes P J. Sound Vib. 84 173 (1982)
  47. Moon F C Chaotic Vibrations (New York: Wiley, 1987); ’aу’? ’s Kh’?’?т’?ch’?с’?’?’? ’?’?’?’?’?’?’?’?ya (’a.: ’a’?р, 1990)
  48. Poincaré H Les Méthodes Nouvelles De La Méchanique Céleste (Paris: Gauthier-Villars, 1982); Poincaré H New Methods Of Celestial Mechanics (Washington: NASA, 1960); ’zу’?’?’?’?р’? ’B ’v’?’?ы’? ’?’?т’?’?ы ’?’?’?’?с’?’?’? ’?’?kh’?’?’?’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1971)
  49. Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’? ’?р. ’a’?т’?’?ы ’?’?ch’?ст’?’?’?’?’?’? т’?’?р’?’? ’? ’?’?’?’?’?’?’?’?’?’? ’?’?’?’?’?’?’?’? Т. 1 (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’R’?ст. ’?’?’?’?. ’?сс’?’?’?., 2004); Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’? ’?р. ’a’?т’?’?ы ’?’?ch’?ст’?’?’?’?’?’? т’?’?р’?’? ’? ’?’?’?’?’?’?’?’?’?’? ’?’?’?’?’?’?’?’? Т. 2 (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, ’R’?ст. ’?’?’?’?. ’?сс’?’?’?., 2009)
  50. ’z’?с’?’? Ya ’G ’K’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы-2 (’Rт’?’?’? ’?’?у’?’? ’? т’?kh’?’?’?’?. ’l’?р. ’l’?’?р’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?’?’?’?ы ’?’?т’?’?’?т’?’?’?. ’sу’?’?’?’?’?’?т’?’?ь’?ы’? ’?’?’?р’?’?’?’?’?’?ya) Vol. 2 (’a.: ’E’R’v’R’n’R, 1985) p. 123
  51. Birkhoff G D Collected Mathematical Papers (New York: Am. Math. Soc., 1950)
  52. Birkhoff G D Mém. Pont. Acad. Sci. Novi Lyncaei 1 85 (1935)
  53. Katok A Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sci. 51 137 (1980)
  54. Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’a’?т’?’?. с’?. 81 92 (1970); Shil’nikov L P Math. USSR Sb. 10 91 (1970)
  55. Arnéodo A, Coullet P, Tresser C Commun. Math. Phys. 79 573 (1981)
  56. Arnéodo A, Coullet P, Tresser C J. Stat. Phys. 27 171 (1982)
  57. ’I’?’?р’?’?’?’? ’v ’F, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’a’?т’?’?. с’?. 88 475 (1972); Gavrilov N K, Shil’nikov L P Math. USSR Sb. 17 467 (1972)
  58. ’I’?’?р’?’?’?’? ’v ’F, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’a’?т’?’?. с’?. 90 139 (1973); Gavrilov N K, Shil’nikov L P Math. USSR Sb. 19 139 (1973)
  59. ’I’?’?ch’?’?’?’? ’l ’E, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z (’i’?’?.) ’I’?’?’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? ’?’?с’?’?’?ya. ’l’?. ст’?т’?’?. (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, ’R’?ст. ’?’?’?’?. ’?сс’?’?’?., 2007)
  60. Palis J Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math. 14 221 (1970)
  61. Hirsch M, Pugh C Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math. 14 133 (1970)
  62. Nitecki Z Differentiable Dynamics (Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 1971); ’v’?т’?ts’?’? ’O ’E’?’?’?’?’?’?’? ’? ’?’?фф’?р’?’?ts’?’?’?ь’?уyu ’?’?’?’?’?’?’?у (’a.: ’a’?р, 1975)
  63. Newhouse S, Palis J Astérisque 31 44 (1976)
  64. Palis J, Takens F Invent. Math. 82 397 (1985)
  65. Palis J, Takens F Ann. Math. 125 337 (1987)
  66. ’lт’?’?ь’?’?’? ’d ’E, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’a’?т’?’?. с’?. 189 (4) 125 (1998); Sten’kin O V, Shil’nikov L P Sb. Math. 189 603 (1998)
  67. Newhouse S E Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math. 14 191 (1970)
  68. Newhouse S E Topology 13 9 (1974)
  69. Newhouse S E Publ. Math. Inst. Hautes 50 101 (1979)
  70. Gonchenko S V, Shil’nikov L P, Turaev D V Chaos 6 15 (1996)
  71. ’I’?’?ch’?’?’?’? ’l ’E, ’nур’?’?’? ’K ’E, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’nру’?ы ’a’R’B’v 216 76 (1997); Gonchenko S V, Turaev D V, Shil’nikov L P Proc. Steklov Inst. Math. 216 70 (1997)
  72. ’I’?’?ch’?’?’?’? ’l ’E, ’lт’?’?ь’?’?’? ’l ’E, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z Nelin. Din. 2 3 (2006)
  73. ’I’?’?ch’?’?’?’? ’l ’E, ’nур’?’?’? ’K ’E, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’K’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы-6 (’Rт’?’?’? ’?’?у’?’? ’? т’?kh’?’?’?’?. ’l’?р. ’l’?’?р’?’?’?’?’?’?ya ’?’?т’?’?’?т’?’?’? ’? ’?’? ’?р’?’?’?zh’?’?’?ya) Vol. 67 (’a.: ’E’R’v’R’n’R, 1999) p. 69; Gonchenko S V, Turaev D V, Shil’nikov L P J. Math. Sci. 105 (1) 1738 (2001)
  74. Gonchenko S V et al. Nonlinearity 10 409 (1997)
  75. Gonchenko S V, Shil’nikov L P, Turaev D V Physica D 62 1 (1993)
  76. Downarowicz T, Newhouse S Invetn. Math. 160 453 (2005)
  77. Kaloshin V Yu Commun. Math. Phys. 211 253 (2000)
  78. Shil’nikov A L, Shil’nikov L P, Turaev D V Int. J. Bifurcat. Chaos 3 1123 (1993)
  79. Newhouse S, Palis J, Takens F Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sci. 57 5 (1983)
  80. ’Bфр’?’?’?’?’?’?ch ’E ’l, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’a’?т’?’?ы ’?’?ch’?ст’?’?’?’?’?’? т’?’?р’?’? ’?’?фф’?р’?’?ts’?’?’?ь’?ыkh ур’?’?’?’?’?’?’? (’dт’?. р’?’?. ’M ’B ’’’?’?’?т’?’?’?ch-’B’?’?р’?’?’?’?’?) (’I’?рь’?’?’?: ’I’I’p, 1983) с. 3
  81. ’d’?сya’?’?’?’?’?’? ’R ’a, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’a’?т’?’?. с’?. 130 552 (1986); Ovsyannikov I M, Shil’nikov L P Math. USSR Sb. 58 557 (1987)
  82. ’d’?сya’?’?’?’?’?’? ’R ’a, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’a’?т’?’?. с’?. 182 1043 (1991); Ovsyannikov I M, Shil’nikov L P Math. USSR Sb. 73 415 (1992)
  83. Palis J, Takens F Hyperbolicity And Sensitive Chaotic Dynamics At Homoclinic Bifurcations (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993)
  84. Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’a’?т’?’?. с’?. 74 378 (1967); Shil’nikov L P Math. USSR Sb. 3 353 (1967)
  85. ’G’?уэ’? ’i ’a’?т’?’?ы с’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? ’?’?’?’?’?’?’?’? (’a.: ’a’?р, 1979)
  86. Ruelle D Hasard Et Chaos (Paris: O. Jacob, 1991); Ruelle D Chance And Chaos (Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1991); ’iyuэ’?ь ’K ’l’?уch’?’?’?’?сть ’? kh’?’?с (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, 2001)
  87. ’z’?ы’?’?’? ’i ’E, ’l’?т’?’?’? ’M ’B, Sh’?yach’?’?’? ’l ’E ’K’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы-9 (’Rт’?’?’? ’?’?у’?’? ’? т’?kh’?’?’?’?. ’l’?р. ’l’?’?р’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?’?’?’?ы ’?’?т’?’?’?т’?’?’?. ’sу’?’?’?’?’?’?т’?’?ь’?ы’? ’?’?’?р’?’?’?’?’?’?ya) Vol. 66 (’a.: ’E’R’v’R’n’R, 1991) p. 100
  88. ’I’?’?ch’?’?’?’? ’l ’E, ’nур’?’?’? ’K ’E, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z ’Rт’?’?’? ’?’?у’?’? ’? т’?kh’?’?’?’? (’l’?р. ’l’?’?р’?’?’?’?’?’?ya ’?’?т’?’?’?т’?’?’? ’? ’?’? ’?р’?’?’?zh’?’?’?ya) Vol. 7 (’a.: ’E’R’v’R’n’R, 2003) p. 92
  89. Mora L, Viana M Acta Math. 71 1 (1993)
  90. Viana M Proc. of XIth Intern. Congress of Mathematical Physics, Paris, France, July 18 - 23, 1994 (Ed. D Iagolnitzer) (Cambridge, MA: Intern. Press, 1995) p. 142
  91. Viana M Bull. Braz. Math. Soc. 24 (1) 13 (1993)
  92. Palis J, Viana M Ann. Math. 140 207 (1994)
  93. Grebogi C et al. Physica D 13 261 (1984)
  94. ’z’?ы’?’?’? ’i ’E ’a’?т’?’?. с’?. 94 243 (1974); Plykin R V Math. USSR Sb. 23 233 (1974)
  95. ’z’?ы’?’?’? ’i ’E Usp. Mat. Nauk 39 (6) 75 (1984); Plykin R V Russ. Math. Surv. 39 (6) 85 (1984)
  96. ’G’?’?ыkh ’E ’v ’l’?ст’?’?ы ф’?’?’?’?’?’? с’?’?khр’?’?’?’?’?ts’?’? (’z’?’? р’?’?. ’E ’E Sh’?kh’?’?’?ь’?ya’?’?, ’’ ’v ’G’?’?yuст’?’?’?’?) (’a.: ’i’?’?’?’? ’? с’?ya’?ь, 1982) с. 161
  97. ’Gу’?’?’?’?’?’?ch ’’ ’B ’K’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы-2 (’Rт’?’?’? ’?’?у’?’? ’? т’?kh’?’?’?’?. ’l’?р. ’l’?’?р’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?’?’?’?ы ’?’?т’?’?’?т’?’?’?. ’sу’?’?’?’?’?’?т’?’?ь’?ы’? ’?’?’?р’?’?’?’?’?’?ya) Vol. 2 (’a.: ’E’R’v’R’n’R, 1985) p. 173
  98. Collet P, Levi Y Commun. Math. Phys. 93 461 (1984)
  99. Lozi R J. Physique Colloq. 39 C5-9 (1978)
  100. Sataev E A J. Math. Sci. 95 2564 (1999)
  101. Misiurewicz M Ann. N.Y. Acad. Sci. 357 348 (1980)
  102. Pesin Ya B Ergodic Theory Dyn. Syst. 12 123 (1992)
  103. Lorenz E N J. Atmos. Sci. 20 130 (1963)
  104. Hénon M Commun. Math. Phys. 50 69 (1976)
  105. Benedicks M, Carleson L Ann. Math. 133 73 (1991)
  106. ’Fу’?’?’?ts’?’? ’l ’z, ’l’?’?’?’?’?’?’? ’M ’z Zh. Eksp. Teor. Fiz. 129 400 (2006); Kuznetsov S P, Seleznev E P JETP 102 355 (2006)
  107. Morales C A Ann. Inst. Henri Poincaré 13 589 (1996)
  108. Belykh V, Belykh I, Mosekilde E Int. J. Bifurcat. Chaos 15 3567 (2005)
  109. Kuznetsov S P Chaos 19 013114 (2009)
  110. ’l’?’?’?’? Ya ’I ’v’?’?’?’?’?’?’?ы’? ’?’?’?’?ы (’dт’?. р’?’?. ’B ’E ’I’?’?’?’?’?’?-’Iр’?kh’?’?) (’a.: ’v’?у’?’?, 1979) с. 192
  111. Haken H A Advanced Synergetics (Berlin: Springer-Verlag, 1983); Kh’?’?’?’? ’I ’l’?’?’?р’?’?т’?’?’? (’a.: ’a’?р, 1985)
  112. Afraimovich V S, Shilnikov L P Nonlinear Dynamics And Turbulence (Eds G I Barenblatt, G Iooss, D D Joseph) (New York: Pitman, 1983) p. 1
  113. Garrido L, Simó C et al. Lect. Notes Phys. 179 1 (1983)
  114. ’B’?’?shch’?’?’?’? ’E ’l ’? ’?р. Usp. Fiz. Nauk 175 163 (2005); Anishchenko V S et al. Phys. Usp. 48 151 (2005)
  115. ’Bфр’?’?’?’?’?’?ch ’E ’l, ’Gы’?’?’? ’E ’E, Sh’?’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’z Usp. Mat. Nauk 35 (4) 164 (1980)
  116. ’Gы’?’?’? ’E ’E ’a’?т’?’?ы ’?’?ch’?ст’?’?’?’?’?’? т’?’?р’?’? ’?’?фф’?р’?’?ts’?’?’?ь’?ыkh ур’?’?’?’?’?’?’? (’dт’?. р’?’?. ’M ’B ’’’?’?’?т’?’?’?ch-’B’?’?р’?’?’?’?’?) (’I’?рь’?’?’?: ’I’I’p, 1980) с. 44
  117. ’Bр’?’?’?ь’? ’E ’R ’K’?’?’?’?’?’?т’?’?ь’?ы’? ’?’?’?’?ы т’?’?р’?’? ’?’?ы’?’?’?’?’?’?’?ыkh ’?’?фф’?р’?’?ts’?’?’?ь’?ыkh ур’?’?’?’?’?’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1978); Arnold V I Geometrical Methods In The Theory Of Ordinary Differential Equations (New York: Springer-Verlag, 1983)
  118. Markus L, Meyer K R Mem. Am. Math. Soc. 144 1 (1974)
  119. Perry A D, Wiggins S Physica D 71 102 (1994)
  120. Zaslavsky G M Phys. Rep. 371 461 (2002)
  121. Bunimovich L A Nonlinearity 21 (2) T13 (2008)
  122. Chirikov B V, Shepelyansky D L Physica D 13 395 (1984)
  123. Bunimovich L A Chaos 11 802 (2001)
  124. Altmann E G, Motter A E, Kantz H Chaos 15 033105 (2005)
  125. Marchal C The Three-Body Problem (Amsterdam: Elsevier, 1990); ’a’?рsh’?’? ’F ’O’?’?’?ch’? тр’?kh т’?’? (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, 2004)
  126. Bunimovich L A Commun. Math. Phys. 65 295 (1979)
  127. ’F’?р’?ф’?’?ь’? ’R ’z, ’l’?’?’?’? Ya ’I, ’s’?’?’?’? ’l ’E ’eр’?’?’?’?ch’?с’?’?ya т’?’?р’?ya (’a.: ’v’?у’?’?, 1980); Cornfeld I P, Fomin S V, Sinai Ya G Ergodic Theory (New York: Springer-Verlag, 1982)
  128. Eckmann J-P, Ruelle D Rev. Mod. Phys. 57 617 (1985)
  129. Arnold L, Wihstutz V (Eds) Lyapunov Exponents. Proc Of A Workshop, Bremen, Germany, November 12 - 15, 1984 (Lecture Notes in Mathematics) Vol. 1186 (Berlin: Springer-Verlag, 1986)
  130. ’dс’?’?’?’?’?ts ’E ’R ’nру’?ы ’a’?с’?. ’?’?т’?’?. ’?’?-’?’? 19 179 (1968); Oseledets V I Trans. Mosc. Math. Soc. 19 197 (1968)
  131. ’a’?’?’?’?’?’?shch’?’?’?’? ’E ’a ’a’?т’?’?. с’?. 78 (2) 179 (1969); Millionshchikov V M Math. USSR Sb. 7 171 (1969)
  132. ’z’?с’?’? Ya ’G Usp. Mat. Nauk 32 (4) 55 (1977); Pesin Ya B Russ. Math. Surv. 32 (4) 55 (1977)
  133. Kaplan J L, Yorke J A Lect. Notes Math. 730 228 (1979)
  134. Paladin G, Vulpiani A Phys. Rep. 156 147 (1987)
  135. Martin N F G, England J W Mathematical Theory Of Entropy (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984); ’a’?рт’?’? ’v, ’R’?’?’?’?’?’? ’Kzh ’a’?т’?’?’?т’?ch’?с’?’?ya т’?’?р’?ya э’?тр’?’?’?’? (’a.: ’a’?р, 1988)
  136. Ornstein D S Ergodic Theory, Randomness, And Dynamical Systems (New Haven: Yale Univ. Press, 1974); ’dр’?ст’?’?’? ’K ’eр’?’?’?’?ch’?с’?’?ya т’?’?р’?ya, с’?уch’?’?’?’?сть ’? ’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы (’a.: ’a’?р, 1978)
  137. Billingsley P Ergodic Theory And Information (New York: Wiley, 1965); ’G’?’?’?’?’?’?с’?’?’? ’z ’eр’?’?’?’?ch’?с’?’?ya т’?’?р’?ya ’? ’?’?ф’?р’?’?ts’?ya (’a.: ’a’?р, 1969)
  138. Hentschel H G E, Procaccia I Physica D 8 435 (1983)
  139. ’a’?’?’?’?’?ts’?’?’? ’I ’I, ’z’?т’?’?’?’? ’B ’G ’l’?’?р’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?’?’?’?ы ’?’?’?’?’?’?’?’?’?’? ’?’?’?’?’?’?’?’? (’a.: ’p’i’l’l, 2000)
  140. ’’’?с’?ут’?’? ’B Yu, ’F’?’?’?’?’? ’B ’B, Kh’?kh’?’?’?’? Yu ’a ’R’?’?. ’?у’?’?’? ’zр’?’?’?’?’?’?’?ya ’?’?’?’?’?’?’?’?’?ya ’?’?’?’?’?’?’?’? 17 (4) 98 (2009)
  141. Grassberger P, Procaccia I Physica D 9 189 (1983)
  142. Grassberger P, Procaccia I Phys. Rev. A 28 2591 (1983)
  143. ’l’?’?’?’? Ya ’I ’K’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?ст’?’?ы-2 (’Rт’?’?’? ’?’?у’?’? ’? т’?kh’?’?’?’?. ’l’?р. ’l’?’?р’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?’?’?’?ы ’?’?т’?’?’?т’?’?’?. ’sу’?’?’?’?’?’?т’?’?ь’?ы’? ’?’?’?р’?’?’?’?’?’?ya) Vol. 2 (’a.: ’E’R’v’R’n’R, 1985) p. 115
  144. ’l’?’?’?’? Ya ’I ’E’?’?’?’?’?’?’? ’? эр’?’?’?’?ch’?с’?уyu т’?’?р’?yu (’a.: ’s’B’O’R’l, 1996)
  145. ’l’?’?’?’? Ya ’I Usp. Mat. Nauk 46 (3) 147 (1991); Sinai Ya G Russ. Math. Surv. 46 (3) 177 (1991)
  146. Halmos P R Lectures On Ergodic Theory (Tokyo: Math. Soc. of Japan, 1956); Kh’?’?’?’?sh ’z ’i ’’’?’?ts’?’? ’?’? эр’?’?’?’?ch’?с’?’?’? т’?’?р’?’? (’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, 1999)
  147. ’l’?’?’?’? Ya ’I Usp. Mat. Nauk 27 (4) 21 (1972); Sinai Ya G Russ. Math. Surv. 27 (4) 21 (1972)
  148. Bowen R, Ruelle D Invent. Math. 29 181 (1975)
  149. Ruelle D Am. J. Math. 98 619 (1976)
  150. Bowen R Equilibrium States And The Ergodic Theory Of Anosov Diffeomorphisms (Lecture Notes in Mathematics) Vol. 470 (Berlin: Springer, 1975)
  151. Young L-S J. Stat. Phys. 108 733 (2002)
  152. Benedicks M, Young L-S Invent. Math. 112 541 (1993)
  153. Zermelo E Ann. Phys. 293 485 (1896)
  154. ’G’?’?ьts’?’?’? ’’ ’R’?’?р’?’?’?ы’? тру’?ы (’a.: ’v’?у’?’?, 1984)
  155. Boltzmann L Wiedemann Ann. 60 392 (1896)
  156. ’Fры’?’?’? ’v ’l ’i’?’?’?ты ’?’? ’?’?’?с’?’?’?’?’?’?yu ст’?т’?ст’?ch’?с’?’?’? ф’?’?’?’?’? (’a.-’’.: ’R’?’?-’?’? ’B’v ’l’l’l’i, 1950); Krylov N S Works On The Foundations Of Statistical Physics (Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1979)
  157. ’zусты’?ь’?’?’?’?’? ’’ ’K Usp. Mat. Nauk 50 (1) 143 (1995); Pustyl’nikov L D Russ. Math. Surv. 50 (1) 145 (1995)
  158. ’G’?’?руch’?’? ’G ’z, ’l’?’?р’?’?’? ’K ’B ’a’?т’?’?’?т’?ch’?с’?’?’? ’?’?’?’?’?’?р’?’?’?’?’?’? ’? kh’?’?т’?ch’?с’?’?’? ’?р’?’?’?’?’?ы’? рya’?ы (’l’?р’?т’?’?: ’F’?’?’?’?’?zh, 2005)
  159. Loskutov A, Mironyuk O Int. J. Bifurcat. Chaos 17 3709 (2007)
  160. ’Bр’?’?sh’?’? ’B ’E, ’’’?с’?ут’?’? ’B Yu ’zр’?’?т’?ch’?с’?’?’? ’?с’?’?’?ты с’?’?р’?’?’?’?’?ыkh ’?’?т’?’?’?’? ’?’?’?’?’?’?’? ’?’?р’?’?’?’?’?ь’?’?ст’? с’?р’?’?ch’?’?’?’? р’?т’?’? (’a.: ’a’?’?’?р’?’?т’?’?’?, 2010)
  161. ’’’?с’?ут’?’? ’B, ’F’?т’?yaр’?’? ’d ’E’?’?yuт’?ы’? с’?’?’?у’?ya’?т (11) 8 (2008)
  162. ’’’?’?ут’?’? ’B Yu ’e’?’?’?’?’?’?’?’? ’?’?т. ’?’?т’?’?ы 46 58 (2010)
  163. Gouesbet G, Meunier-Guttin-Cluzel S, Ménard O (Eds) Chaos And Its Reconstruction (New York: Nova Sci. Publ., 2003)
  164. Packard N H et al. Phys. Rev. Lett. 45 712 (1980)
  165. Takens F Lect. Notes Math. 898 336 (1981)
  166. Vautard R, Yiou P, Ghil M Physica D 58 95 (1992)
  167. ’K’?’?’?’?’?’? ’K ’’, Zh’?’?’?ya’?с’?’?’? ’B ’B (’i’?’?.) ’I’?’?’?’?ы’? ’?’?’?’?’?’?’?’?ты ’?р’?’?’?’?’?ыkh рya’?’?’?: ’?’?т’?’? "’Iус’?’?’?ts’?". ’l’?. ст’?т’?’? (’l’z’?.: ’l.-’z’?т’?р’?. ’?’?с. у’?-т, 1997)
  168. Farmer J D, Sidorowich J J Phys. Rev. Lett. 59 845 (1987)
  169. ’Rст’?’?’?’? ’R ’B, ’F’?т’?yaр’?’? ’d ’’, ’’’?с’?ут’?’? ’B Yu Teor. Mat. Fiz. 142 148 (2005); Istomin I A, Kotlyarov O L, Loskutov A Yu Theor. Math. Phys. 142 128 (2005)
  170. ’’’?с’?ут’?’? ’B Yu ’? ’?р. ’z’?сь’?’? ’Bстр’?’?. zhур’?. 27 867 (2001); Loskutov A Yu et al. Astron. Lett. 27 745 (2001)
  171. Farmer J D, Sidorowich J J Evolution, Learning, And Cognition (Ed. Y C Lee) (Singapore: World Scientific, 1988) p. 277
  172. ’’’?с’?ут’?’? ’B Yu ’? ’?р. ’E’?ст’?. ’a’?с’?. у’?-т’? ’l’?p. 3. ’s’?’?. ’Bстр’?’?. 6 3 (2002)
  173. Abarbanel H D I et al. Rev. Mod. Phys. 65 1331 (1993)
  174. Franses P H Time Series Models For Business And Economic Forecasting (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998)
  175. Ghil M et al. Rev. Geophys. 40 (1) 1003 (2002)
  176. Shumway R H, Stoffer D S Time Series Analysis And Its Applications (Berlin: Springer, 2000)
  177. ’Bфр’?’?’?’?’?’?ch ’E ’l, ’i’?’?’?’?’? ’B ’a ’v’?’?’?’?’?’?’?ы’? ’?’?’?’?ы. ’K’?’?’?’?’?’?’? ’? э’?’?’?yuts’?ya (’dт’?. р’?’?. ’B ’E ’I’?’?’?’?’?’?-’Iр’?kh’?’?, ’a ’R ’i’?’?’?’?’?’?’?ch) (’a.: ’v’?у’?’?, 1989) с. 238
  178. Takens F Nonlinear Dynamics And Turbulence (Eds G I Barenblatt, G Iooss, D D Joseph) (New York: Pitman, 1983) p. 314
  179. Broer H W et al. Structures In Dynamics: Finite Dimensional Deterministic Studies (Amsterdam: North-Holland, 1991); ’Gрур Kh ’E ’? ’?р. ’lтру’?туры ’? ’?’?’?’?’?’?’?’?. ’F’?’?’?ch’?’?’?’?р’?ы’? ’?’?т’?р’?’?’?’?р’?’?’?’?’?ы’? с’?ст’?’?ы (’a. - ’Rzh’?’?с’?: ’iKh’K, ’R’?ст. ’?’?’?’?. ’?сс’?’?’?., 2003) с. 119
  180. Mandelbrot B B The Fractal Geometry Of Nature (New York: W.H. Freeman, 1983); ’a’?’?’?’?’?ь’?р’?т ’G ’sр’?’?т’?’?ь’?’?ya ’?’?’?’?’?тр’?ya ’?р’?р’?’?ы (’a.: ’R’?-т ’?’?’?’?. ’?сс’?’?’?., 2002)
  181. Peitgen H-O, Richter P H The Beauty Of Fractals: Images Of Complex Dynamical Systems (Berlin: Springer-Verlag, 1986); ’z’?’?т’?’?’? Kh-’d, ’i’?khт’?р ’z Kh ’Fр’?с’?т’? фр’?’?т’?’?’?’?. ’d’?р’?’?ы ’?’?’?’?’?’?’?с’?ыkh ’?’?’?’?’?’?ch’?с’?’?kh с’?ст’?’? (’a.: ’a’?р, 1993)
  182. Ruelle D Math. Intell. 2 126 (1980)
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