RSS feeds
РусскийEnglish
Issue 9, 2026
Volume year page
Issues Authors PACS Subscription For authors

Issues

 / 

2007

 / 

December

←  →

Methodological notes


Feynman disentangling оf noncommuting operators and group representation theory


Russian Federation State Scientific Center ‘A.I. Alikhanov Institute of Theoretical and Experimental Physics’, ul. Bolshaya Cheremushkinskaya 25, Moscow, 117259, Russian Federation

Feynman's method for disentangling noncommuting operators is discussed and applied to nonstationary problems in quantum mechanics, including the excitation of а harmonic oscillator by an external force and/or bу time-varying frequency; spin rotation in а time-varying magnetic field; the disentangling of аn atom (ion) Hamiltonian in а laser field; а model with the hidden symmetry group of the hydrogen atom; and the theory of coherent states. The Feynman operator calculus combined with simple group-theoretical considerations allows disentangling the Hamiltonian and obtaining exact transition probabilities between the initial and final states of а quantum oscillator in analytic form without cumbersome calculations. The case of а D-dimensional oscillator is briefly discussed, in particular, in application to the problem of vacuum pair creation in an intense electric field.

Fulltext pdf (322 KB)
Fulltext is also available at DOI: 10.1070/PU2007v050n12ABEH006401
PACS: 02.20.−a, 03.65.Ca, 03.65.Fd (all)
DOI: 10.1070/PU2007v050n12ABEH006401
URL: https://ufn.ru/en/articles/2007/12/b/
000254795400002
2-s2.0-41949141349
2007PhyU...50.1217P
Citation: Popov V S "Feynman disentangling оf noncommuting operators and group representation theory" Phys. Usp. 50 1217–1238 (2007)
BibTexBibNote ® (generic)BibNote ® (RIS)MedlineRefWorks

Оригинал: Попов В С «Фейнмановский метод распутывания операторов и теория представлений групп» УФН 177 1319–1340 (2007); DOI: 10.3367/UFNr.0177.200712f.1319

References (114) ↓ Cited by (18) Similar articles (20)

  1. Feynman R P Rev. Mod. Phys. 20 367 (1948)
  2. Feynman R P, Hibbs A R Quantum Mechanics And Path Integrals (New York: McGraw-Hill, 1965); ’s’?’?’?’?’?’? ’i, Kh’?’?с ’B ’F’?’?’?т’?’?’?ya ’?’?kh’?’?’?’?’? ’? ’?’?т’?’?р’?’?ы ’?’? тр’?’?’?т’?р’?ya’? (’a.: ’a’?р, 1968)
  3. Feynman R P Phys. Rev. 76 749 (1949); Feynman R P Phys. Rev. 76 769 (1949), с’?. т’?’?zh’? ’?yu’?’?’? уch’?’?’?’?’? ’?’? ’F’e’K ’? т’?’?р’?’? ’?’?’?ya
  4. ’s’?’?’?’?’?’? ’i ’F’?’?’?т’?’?’?ya э’?’?’?тр’?’?’?’?’?’?’?’?’? (’a.: ’a’?р, 1964)
  5. ’s’?’?’?’?’?’? ’i ’F’e’K — стр’?’?’?’?ya т’?’?р’?ya с’?’?т’? ’? ’?’?shch’?ст’?’? (’G’?’?’?’?’?т’?ch’?’? «’F’?’?’?т», ’Eы’?. 66) (’a.: ’v’?у’?’?, 1988)
  6. Feynman R P Phys. Rev. 84 108 (1951); ’s’?’?’?’?’?’? ’i ’zр’?’?’?’?’?ы с’?’?р’?’?’?’?’?’?’? ф’?’?’?’?’? ’Eы’?. 3 (’a.: ’R’’, 1955) с. 37
  7. Feynman R P Phys. Rev. 80 440 (1950)
  8. Fujiwara I Prog. Theor. Phys. 7 433 (1952)
  9. Schwinger J Phys. Rev. 91 728 (1953)
  10. ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 35 985 (1958)
  11. Popov V S Phys. Lett. A 342 281 (2005); ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 128 944 (2005); ’z’?’?’?’? ’E ’l, ’nрус’?’? ’a ’B ’v’?уch’?’?ya с’?сс’?ya ’a’R’s’R-2007 ’n. 5 (’a.: ’a’R’s’R, 2007) p. 196
  12. Wigner E P Group Theory And Its Application To The Quantum Mechanics Of Atomic Spectra (New York: Academic Press, 1959); ’E’?’?’?’?р ’M ’z ’n’?’?р’?ya ’?ру’?’? ’? ’?’? ’?р’?’?’?zh’?’?’?ya ’? ’?’?’?’?т’?’?’?’?’?kh’?’?’?ch’?с’?’?’? т’?’?р’?’? ’?т’?’?’?ыkh с’?’?’?тр’?’? (’a.: ’R’’, 1961)
  13. ’E’?’?-’?’?р-’E’?р’?’?’? ’G ’’ ’a’?т’?’? т’?’?р’?’? ’?ру’?’? ’? ’?’?’?’?т’?’?’?’? ’?’?kh’?’?’?’?’? (Kh’?рь’?’?’?: ’d’v’n’R ’v’F’n’z, 1938); van der Waerden B L Group Theory And Quantum Mechanics (Berlin: Springer, 1980)
  14. ’E’?’?’?ь ’I ’n’?’?р’?ya ’?ру’?’? ’? ’?’?’?’?т’?’?’?ya ’?’?kh’?’?’?’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1986)
  15. ’z’?’?трya’?’?’? ’’ ’l ’v’?’?р’?ры’?’?ы’? ’?ру’?’?ы 2-’? ’?’?’?. (’a.: ’I’?ст’?kh’?’?’?’?т, 1954)
  16. ’z’?тр’?sh’?’?ь ’a ’R, ’nр’?ф’?’?’?’? ’M ’K ’zр’?’?’?’?’?’?’?’? т’?’?р’?’? ’?ру’?’? ’? ’?’?’?’?т’?’?’?’? ’?’?kh’?’?’?’?’? (’a.: ’p’i’l’l, 1999)
  17. ’E’?’?’?’?’?’?’? ’v Ya ’l’?’?ts’?’?’?ь’?ы’? фу’?’?ts’?’? ’? т’?’?р’?ya ’?р’?’?ст’?’?’?’?’?’?’? ’?ру’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1965)
  18. ’sр’?’?с’?’?’? ’F ’n’?’?р’?ya ’?ру’?’? ’? э’?’?’?’?’?т’?р’?ы’? ch’?ст’?tsы (’z’?р. ’?’?’? р’?’?. ’K ’R’?’?’?’?’?’?’?) (’a.: ’a’?р, 1967) с. 324
  19. Bateman H Higher Transcendental Functions (Compiled A Erdélyi) Vol. 1, 2 (New York: McGraw-Hill, 1953); ’G’?’?т’?’?’? ’I, ’eр’?’?’?’? ’B ’Eысsh’?’? тр’?’?сts’?’?’?’?’?т’?ы’? фу’?’?ts’?’? ’n. 1, 2 (’a.: ’v’?у’?’?, 1965-1966)
  20. Abramowitz M, Stegun I A (Eds) Handbook Of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, And Mathematical Tables (New York: Dover Publ., 1965); ’B’?р’?’?’?’?’?ts’? ’a, ’lт’?’?’?’? ’R (’i’?’?.) ’l’?р’?’?’?ch’?’?’? ’?’? с’?’?ts’?’?’?ь’?ы’? фу’?’?ts’?ya’? с ф’?р’?у’?’?’?’?, ’?р’?ф’?’?’?’?’? ’? ’?’?т’?’?’?т’?ch’?с’?’?’?’? т’?’?’?’?ts’?’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1979)
  21. Schwinger J Phys. Rev. 82 914 (1951); Schwinger J Phys. Rev. 91 713 (1953); Schwinger J Phys. Rev. 91 728 (1953); Schwinger J Phys. Rev. 93 615 (1954); Schwinger J Phys. Rev. 94 1362 (1954)
  22. Sh’?’?’?’?’?р Yu ’n’?’?р’?ya ’?’?’?’?т’?’?’?’?’?ыkh ’?’?’?’?’? (’a.: ’R’’, 1956)
  23. ’’’?’?’?’?у ’’ ’K, ’’’?фsh’?ts ’M ’a ’F’?’?’?т’?’?’?ya ’?’?kh’?’?’?’?’?: ’v’?р’?’?yaт’?’?’?стс’?’?ya т’?’?р’?ya (’a.: ’v’?у’?’?, 1974)
  24. Majorana E Nuovo Cimento 9 43 (1932)
  25. ’E’?рsh’?’?’?’?’?ch ’K ’B, ’a’?с’?’?’?’?’? ’B ’v, Kh’?рс’?’?с’?’?’? ’E ’F ’F’?’?’?т’?’?’?ya т’?’?р’?ya у’?’?’?’?’?’?’? ’?’?’?’?’?т’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1975)
  26. ’K’? ’Kzh’?’?’?’?’? ’s, ’v’?’?’?т’?’? ’M ’M Usp. Fiz. Nauk 175 545 (2005); Di Giacomo F, Nikitin E E Phys. Usp. 48 515 (2005)
  27. Güttinger P Z. Phys. 73 169 (1931)
  28. Schwinger J Phys. Rev. 51 648 (1937)
  29. Landau L Phys. Z. Sowjetunion 1 88 (1932); Landau L Phys. Z. Sowjetunion 2 46 (1932)
  30. Zener C Proc. R. Soc. London Ser. A 137 696 (1932)
  31. Stückelberg E C G Helv. Phys. Acta 5 369 (1932)
  32. Bloch F, Rabi I I Rev. Mod. Phys. 17 237 (1945)
  33. Abragam A The Principles Of Nuclear Magnetism (Oxford: Clarendon Press, 1961); ’B’?р’?’?’?’? ’B Ya’?’?р’?ы’? ’?’?’?’?’?т’?’?’? (’a.: ’R’’, 1963)
  34. Bargmann V, Michel L, Telegdi V L Phys. Rev. Lett. 2 435 (1959)
  35. Frenkel J Z. Phys. 37 243 (1926)
  36. ’G’?р’?ст’?ts’?’?’? ’E ’G, ’’’?фsh’?ts ’M ’a, ’z’?т’?’?’?с’?’?’? ’’ ’z ’F’?’?’?т’?’?’?ya э’?’?’?тр’?’?’?’?’?’?’?’?’? (’a.: ’s’?’?’?’?т’?’?т, 2001)
  37. ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 38 1584 (1960)
  38. Sh’?’?’?р’? ’R ’l Dokl. Akad. Nauk SSSR 106 647 (1956)
  39. Chzh’?у ’Iу’?’?-Chzh’?’?, ’O’?ст’?’?’?’?’?’? ’’ ’I Zh. Eksp. Teor. Fiz. 35 1417 (1958)
  40. ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 37 1116 (1959)
  41. ’I’?’?ьф’?’?’? ’R ’a, ’a’?’?’?’?с ’i ’B, Sh’?’?’?р’? ’O Ya ’zр’?’?ст’?’?’?’?’?’?ya ’?ру’?’?ы ’?р’?shch’?’?’?’? ’? ’?ру’?’?ы ’’’?р’?’?ts’?, ’?kh ’?р’?’?’?’?’?’?’?ya (’a.: ’s’?’?’?’?т’?’?’?, 1958)
  42. ’v’?’?’?’?р’? ’a ’B ’’’?’?’?’?’?ы’? ’?р’?’?ст’?’?’?’?’?’?ya ’?ру’?’?ы ’’’?р’?’?ts’? (’a.: ’s’?’?’?’?т’?’?’?, 1958)
  43. Husimi K Prog. Theor. Phys. 9 381 (1953)
  44. Lewis H R (Jr.), Riesenfeld W B J. Math. Phys. 10 1458 (1969)
  45. ’z’?’?’?’? ’E ’l, ’z’?р’?’?’?’?’?’? ’B ’a Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57 1684 (1969)
  46. ’G’?’?ь ’B ’R, ’O’?’?ь’?’?’?’?ch Ya ’G, ’z’?р’?’?’?’?’?’? ’B ’a ’i’?сс’?ya’?’?’?, р’?’?’?ts’?’? ’? р’?с’?’?’?ы ’? ’?’?р’?’?yaт’?’?’?стс’?’?’? ’?’?’?’?т’?’?’?’? ’?’?kh’?’?’?’?’? 2-’? ’?’?’?. (’a.: ’v’?у’?’?, 1971)
  47. ’Kыkh’?’? ’B ’a Zh. Eksp. Teor. Fiz. 38 570 (1960)
  48. ’z’?р’?’?’?’?’?’? ’B ’a, ’z’?’?’?’? ’E ’l Teor. Mat. Fiz. 3 377 (1970)
  49. Malkin I A, Man’ko V I, Trifonov D A Phys. Rev. D 2 1371 (1970)
  50. ’Bkhу’?’?’?’?’? ’e ’B, ’K’?’?’?’?’?’? ’E ’E, ’a’?’?ь’?’? ’E ’R Teor. Mat. Fiz. 60 413 (1984)
  51. ’a’?’?’?’?’? ’R ’B, ’a’?’?ь’?’? ’E ’R ’K’?’?’?’?’?ch’?с’?’?’? с’?’?’?’?тр’?’? ’? ’?’?’?’?р’?’?т’?ы’? с’?ст’?ya’?’?ya ’?’?’?’?т’?’?ыkh с’?ст’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1979)
  52. ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 62 1248 (1972)
  53. Ringwald A Phys. Lett. B 510 107 (2001)
  54. ’z’?’?’?’? ’E ’l ’z’?сь’?’? Zh’e’n’s 74 151 (2001); Popov V S Phys. Lett. A 298 83 (2002)
  55. Alkofer R et al. Phys. Rev. Lett. 87 193902 (2001)
  56. Tajima T, Mourou G Phys. Rev. ST Accel. Beams 5 031301 (2002)
  57. Narozhny N B, Bulanov S S, Mur V D, Popov V S Phys. Lett. A 330 1 (2004); ’Gу’?’?’?’?’? ’l ’l, ’v’?р’?zh’?ы’? ’v ’G, ’aур ’E ’K, ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 129 14 (2006)
  58. Narozhny N B Laser Phys. 15 1458 (2005)
  59. Mourou G A, Tajima T, Bulanov S V Rev. Mod. Phys. 78 309 (2006)
  60. Sauter F Z. Phys. 73 547 (1931)
  61. Heisenberg W, Euler H Z. Phys. 98 714 (1936)
  62. Schwinger J Phys. Rev. 82 664 (1951)
  63. Eckart C Phys. Rev. 35 1303 (1930)
  64. Nikishov A I Nucl. Phys. B 21 346 (1970); ’v’?р’?zh’?ы’? ’v ’G, ’v’?’?’?sh’?’? ’B ’R Yad. Fiz. 11 1072 (1970)
  65. Parker L Phys. Rev. 183 1057 (1969); Parker L Phys. Rev. D 3 346 (1971)
  66. ’O’?’?ь’?’?’?’?ch Ya ’G, ’lт’?р’?’?’?’?с’?’?’? ’B ’B Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61 2161 (1971)
  67. ’O’?’?ь’?’?’?’?ch Ya ’G, ’z’?т’?’?’?с’?’?’? ’’ ’z, ’z’?’?’?’? ’E ’l, ’lт’?р’?’?’?’?с’?’?’? ’B ’B Usp. Fiz. Nauk 105 780 (1971); Zel’dovich Ya B, Pitaevskii L P, Popov V S, Starobinskii A A Sov. Phys. Usp. 14 811 (1972)
  68. ’F’?’?’?ыsh ’’ ’E Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47 1945 (1964)
  69. Wolkow D M Z. Phys. 94 250 (1935); ’E’?’?’?’?’? ’K ’a Zh. Eksp. Teor. Fiz. 7 1286 (1937)
  70. ’z’?’?’?’? ’E ’l Usp. Fiz. Nauk 174 921 (2004); ’z’?’?’?’? ’E ’l Phys. Usp. 47 855 (2004)
  71. Manakov N L, Ovsiannikov V D, Rapoport L P Phys. Rep. 141 320 (1986)
  72. Mur V D, Popruzhenko S V, Pozdnyakov S G, Popov V S Phys. Lett. A 316 226 (2003)
  73. Fock V Z. Phys. 98 145 (1935)
  74. Bargmann V Z. Phys. 99 576 (1936)
  75. ’z’?р’?’?’?’?’?’? ’B ’a, ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50 179 (1966)
  76. Bander M, Itzykson C Rev. Mod. Phys. 38 330 (1966); Bander M, Itzykson C Rev. Mod. Phys. 38 346 (1966)
  77. ’z’?’?’?’? ’E ’l ’? с’?. ’s’?’?’?’?’? ’?ыс’?’?’?kh э’?’?р’?’?’? ’? т’?’?р’?ya э’?’?’?’?’?т’?р’?ыkh ch’?ст’?ts (’dт’?. р’?’?. ’E ’z Sh’?’?’?ст) (’F’?’?’?: ’v’?у’?’?’?’? ’?у’?’?’?, 1967) с. 702
  78. Thomas L H Nature 117 514 (1926)
  79. Wigner E P Rev. Mod. Phys. 29 255 (1957)
  80. ’a’?’?ы’?’?’? ’I ’G Usp. Fiz. Nauk 176 865 (2006); Malykin G B Phys. Usp. 49 837 (2006)
  81. ’i’?тус ’E ’R Usp. Fiz. Nauk 177 105 (2007); Ritus V I Phys. Usp. 50 95 (2007)
  82. Glauber R J Phys. Rev. 84 395 (1951)
  83. Kumar K J. Math. Phys. 6 1923 (1965); Kumar K J. Math. Phys. 6 1928 (1965)
  84. Magnus W, Karrass A, Solitar D Combinatorial Group Theory 2nd ed. (New York: Dover Publ., 1976)
  85. Schrödinger E Naturwissenshaften 14 664 (1926)
  86. Glauber R J Phys. Rev. Lett. 10 84 (1963); Glauber R J Phys. Rev. 130 2529 (1963); Glauber R J Phys. Rev. 131 2766 (1963)
  87. ’I’?’?у’?’?р ’i ’Kzh Usp. Fiz. Nauk 176 1342 (2006)
  88. Klauder J R, Sudarshan E C G Fundamentals Of Quantum Optics (New York: W.A. Benjamin, 1968); ’F’?’?у’?’?р ’Kzh, ’lу’?’?рsh’?’? ’e ’dс’?’?’?ы ’?’?’?’?т’?’?’?’? ’?’?т’?’?’? (’a.: ’a’?р, 1970)
  89. Fock V Z. Phys. 49 339 (1928)
  90. ’s’?’? ’E ’B ’i’?’?’?ты ’?’? ’?’?’?’?т’?’?’?’? т’?’?р’?’? ’?’?’?ya (’’.: ’R’?’?-’?’? ’’’I’p, 1957) p. 9
  91. Bargmann V Commun. Pure Appl. Math. 14 187 (1961); Bargmann V Rev. Mod. Phys. 34 829 (1962)
  92. Bender C M, Wu T T Phys. Rev. 184 1231 (1969); Bender C M, Wu T T Phys. Rev. D 7 1620 (1973)
  93. Brézin E, Le Guillou J-C, Zinn-Justin J Phys. Rev. D 15 1544 (1977); Brézin E, Le Guillou J-C, Zinn-Justin J Phys. Rev. D 15 1558 (1977)
  94. Hioe F T, MacMillen D, Montroll E W Phys. Rep. 43 305 (1978)
  95. Dolgov A D, Popov V S Phys. Lett. B 79 403 (1978); Alliluev S P, Eletsky V L, Popov V S Phys. Lett. A 73 103 (1980); ’K’?’?’?’?’? ’B ’K, ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 75 2010 (1978)
  96. Kazakov D I, Shirkov D V Fortschr. Phys. 28 465 (1980)
  97. ’a’?’?’?’?’? ’B ’G, ’Fр’?’?’?’?’? ’E ’z ’zр’?’?’?’?zh’?’?’?ы’? ’?’?т’?’?ы ’?’?’?’?т’?’?’?’? ’?’?kh’?’?’?’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1966)
  98. ’a’?’?’?’?’? ’B ’G ’F’?ch’?ст’?’?’?’?ы’? ’?’?т’?’?ы ’? ’?’?’?’?т’?’?’?’? т’?’?р’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1975)
  99. ’F’?р’?с’?’? ’a ’E, ’a’?с’?’?’? ’E ’z ’v’?’?’?’?’?’?’?ы’? с’?’?’?’?’? ’zу’?сс’?’?’?. ’I’?’?’?’?тр’?ya ’? ’?’?’?’?т’?’?’?’?’?’? (’a.: ’v’?у’?’?, 1991)
  100. Bloch F Z. Phys. 74 295 (1932)
  101. ’F’?рzh’?’?ts ’K ’B ’nру’?ы ’s’R’B’v 16 3 (1961)
  102. ’F’?рzh’?’?ts ’K ’B ’z’?’?’?’?ы’? ’?’?т’?’?ы т’?’?р’?’? ’?’?’?’?’?kh ch’?ст’?ts (’a.: ’I’?с’?т’?’?’?’?’?’?т, 1963)
  103. Dirac P A M The Principles Of Quantum Mechanics (Oxford: Clarendon Press, 1958); ’K’?р’?’? ’z ’B ’a ’l’?’?р’?’?’?’? ’?’?уch’?ыkh тру’?’?’? ’n. 1 (’a.: ’s’?’?’?’?т’?’?т, 2002) с. 9
  104. ’z’?р’?’?’?’?’?’? ’B ’a Teor. Mat. Fiz. 6 213 (1971); ’z’?р’?’?’?’?’?’? ’B ’a Usp. Fiz. Nauk 123 23 (1977); Perelomov A M Sov. Phys. Usp. 20 703 (1977)
  105. ’O’?’?ь’?’?’?’?ch ’G Ya, ’z’?р’?’?’?’?’?’? ’B ’a, ’z’?’?’?’? ’E ’l ’zр’?’?р’?’?т № 618 (’a.: ’R’n’e’s, 1968)
  106. ’z’?р’?’?’?’?’?’? ’B ’a, ’z’?’?’?’? ’E ’l Zh. Eksp. Teor. Fiz. 54 1799 (1968)
  107. Park D Z. Phys. 159 155 (1960)
  108. Stone A P Proc. Cambr. Philos. Soc. 52 424 (1956)
  109. Morse P M, Feshbach H Methods Of Theoretical Physics Vol. 2 (New York: McGraw-Hill, 1953), Sect. 12.3
  110. Rabi I I Phys. Rev. 51 652 (1937)
  111. ’lт’?’?’?’?’?’? ’E ’E ’Fурс ’?’?фф’?р’?’?ts’?’?’?ь’?ыkh ур’?’?’?’?’?’?’? (’a.: ’I’?ст’?kh’?’?’?’?т, 1953)
  112. ’nрус’?’? ’a ’B, ch’?ст’?’?’? с’?’?’?shch’?’?’?’?
  113. Schwinger J Philos. Mag. 44 1171 (1953)
  114. Schwinger J J. Math. Phys. 2 407 (1961)
© 1918–2026 Uspekhi Fizicheskikh Nauk
Email: ufn@ufn.ru Editorial office contacts About the journal Terms and conditions