Предлагаемая работа состоит из двух частей. В первой представлен обзор классической техники Швингера—ДеВитта для вычисления эффективного действия в квантовой теории поля и квантовой гравитации. Последовательно излагаются методы фонового поля, теплового ядра и вычисления коэффициентов теплового ядра для минимальных операторов второго порядка, затем приложение этих методов к вычислению расходящейся части однопетлевого эффективного действия и, наконец, метод универсальных функциональных следов, применимый также к минимальным операторам высшего порядка и неминимальным операторам. Во второй части работы представлены полученные в последние годы новые результаты о внедиагональных разложениях теплового ядра для минимальных операторов высшего порядка. Показано, что эти разложения, обобщающие стандартный анзац ДеВитта, имеют вид двойного функционального ряда по некоторым новым специальным функциям, которые мы называем "обобщёнными экспоненциальными функциями". Подробно обсуждаются свойства таких функций и построенных из них разложений, в частности, наличие в них членов со сколь угодно большими отрицательными степенями собственного времени. Наконец, описываются два различных ковариантных метода вычисления коэффициентов внедиагональных разложений — с помощью "обобщённого преобразования Фурье" и по теории возмущений.